Polynésie – 4 septembre 2026 - Exercice 1

25 min
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Le nombre hebdomadaire de consultations lors d'une épidémie de grippe saisonnière, pendant 1010 semaines consécutives, est modélisé par la fonction ff, définie sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] par :
f(t)=−25t2+300t+400f\left(t\right)=-25t^{2}+300t+400 où tt représente le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'épidémie.
La courbe représentative Cf\mathscr{C}_f de la fonction ff est donnée ci-dessous dans un repère du plan.
Question 1
Partie A : lecture graphique
En utilisant le graphique ci-dessus :

Déterminer le nombre de consultations 22 semaines après le début de l'épidémie.

Correction
Il nous faut lire f(2)f\left(2\right) : l'ordonnée du point de Cf\mathscr{C}_f d'abscisse 22.
Par lecture graphique :
f(2)=900f\left(2\right)=900

22 semaines après le début de l'épidémie, il y a 900900 consultations.
Question 2

Déterminer l'intervalle de temps pour lequel le nombre de consultations dépasse 1  2001\;200.

Correction
On trace la droite horizontale d'équation y=1  200y=1\;200 et on cherche les abscisses des points de Cf\mathscr{C}_f situés strictement au-dessus de cette droite.
La courbe coupe la droite pour t=4t=4 et t=8t=8 ; entre ces deux valeurs, elle est au-dessus.
Le nombre de consultations dépasse 1  2001\;200 pour t∈]4;8[t\in\left]4;8\right[.
Question 3

Au bout de combien de semaines après le début de l'épidémie le nombre de consultations est-il maximal ? Quelle est cette valeur maximale ?

Correction
Le nombre maximal de consultations correspond au point le plus haut de la courbe Cf\mathscr{C}_f.
Le point le plus haut a pour coordonnées (6;1  300)\left(6;1\;300\right).
Le nombre de consultations est maximal au bout de 66 semaines : il vaut 1  3001\;300.
Question 4
Partie B : Étude de la fonction ff

Calculer f(0)f\left(0\right). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
f(0)=−25×02+300×0+400f\left(0\right)=-25\times 0^{2}+300\times 0+400
Ainsi :
f(0)=400f\left(0\right)=400

Au début de l'épidémie (t=0t=0), il y a 400400 consultations dans la semaine.
Question 5

Justifier que, pour tout réel tt de l'intervalle [0;10]\left[0;10\right], f′(t)=−50t+300f'\left(t\right)=-50t+300.

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • (Ici la variable s'appelle tt au lieu de xx : les règles sont les mêmes.)
    ff est dérivable sur [0;10]\left[0;10\right].
    f′(t)=−25×2t+300f'\left(t\right)=-25\times 2t+300
    Ainsi :
    f′(t)=−50t+300f'\left(t\right)=-50t+300
    Question 6

    Résoudre dans l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] l'équation f′(t)=0f'\left(t\right)=0.

    Correction
    f′(t)=0f'\left(t\right)=0 équivaut successivement à :
    −50t+300=0-50t+300=0
    −50t=−300-50t=-300
    t=−300−50t=\dfrac{-300}{-50}
    t=6t=6

    66 appartient bien à l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] : l'équation a pour solution t=6t=6.
    Question 7

    Étudier le signe de f′(t)f'\left(t\right), puis dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right].
    On donne f(6)=1  300f\left(6\right)=1\;300.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente, f′(t)=0f'\left(t\right)=0 pour t=6t=6.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    Soit t↦−50t+300t\mapsto -50t+300 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−50<0m=-50\lt 0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −50t+300-50t+300 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur t=6t=6 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Il en résulte donc que :
    • si t∈[0;6]t\in\left[0;6\right] alors f′(t)≥0f'\left(t\right)\ge 0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si t∈[6;10]t\in\left[6;10\right] alors f′(t)≤0f'\left(t\right)\le 0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    De plus :
  • f(0)=400f\left(0\right)=400 (question 4)
  • f(6)=1  300f\left(6\right)=1\;300 (donné par l'énoncé)
  • f(10)=−25×102+300×10+400⇔f(10)=900f\left(10\right)=-25\times 10^{2}+300\times 10+400\Leftrightarrow f\left(10\right)=900

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