Polynésie – 12 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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Aide au calcul pour cet exercice : 83=5128^{3}=512 ; 12×82=76812\times 8^{2}=768
Dans une ville, l'évolution d'une épidémie en fonction du temps écoulé xx, exprimé en semaines depuis le début de l'épidémie, est modélisée par une fonction ff définie sur l'intervalle [0;12]\left[0;12\right].
Pour tout nombre réel xx compris entre 00 et 1212, f(x)f\left(x\right) désigne le nombre de malades observés à l'instant xx.
La courbe représentative de ff, notée Cf\mathscr{C}_f, est donnée dans le repère du plan ci-dessous.
Question 1
Lecture graphique

Avec la précision permise par le graphique, lire f(5)f\left(5\right).
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
f(5)f\left(5\right) est l'ordonnée du point de Cf\mathscr{C}_f d'abscisse 55.
Par lecture graphique :
f(5)≈180f\left(5\right)\approx 180

Au bout de 55 semaines, on observe environ 180180 malades.
Question 2

Déterminer graphiquement la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie.
Avec la précision permise par le graphique, déterminer le nombre de malades cette semaine-là.

Correction
Le pic de l'épidémie correspond au point le plus haut de la courbe Cf\mathscr{C}_f : c'est le maximum de la fonction ff.
Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 88 et pour ordonnée environ 260260.
Le pic de l'épidémie a eu lieu la 88e semaine, avec environ 260260 malades.
Question 3
On admet que la fonction ff représentée ci-dessus est définie par : f(x)=−x3+12x2+4f\left(x\right)=-x^{3}+12x^{2}+4

Calculer f(1)f\left(1\right).
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
f(1)=−13+12×12+4f\left(1\right)=-1^{3}+12\times 1^{2}+4
f(1)=−1+12+4f\left(1\right)=-1+12+4
Ainsi :
f(1)=15f\left(1\right)=15

Au bout d'une semaine, on observe 1515 malades.
Question 4

Vérifier que pour tout réel xx de l'intervalle [0;12]\left[0;12\right], f′(x)=3x(−x+8)f'\left(x\right)=3x\left(-x+8\right).

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée de x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • ff est dérivable sur [0;12]\left[0;12\right].
    f′(x)=−1×3x2+12×2x+0f'\left(x\right)=-1\times 3x^{2}+12\times 2x+0
    Ainsi :
    f′(x)=−3x2+24xf'\left(x\right)=-3x^{2}+24x

    Nous allons développer l'expression 3x(−x+8)3x\left(-x+8\right) et nous allons vérifier qu'elle est bien égale à f′(x)f'\left(x\right).
    3x(−x+8)=3x×(−x)+3x×83x\left(-x+8\right)=3x\times\left(-x\right)+3x\times 8
    3x(−x+8)=−3x2+24x3x\left(-x+8\right)=-3x^{2}+24x
    Il en résulte donc que pour tout réel x∈[0;12]x\in\left[0;12\right] :
    f′(x)=3x(−x+8)f'\left(x\right)=3x\left(-x+8\right)
    Question 5

    Compléter le tableau ci-dessous :

    Correction
    Pour étudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) nous allons étudier le signe de 3x3x et le signe de −x+8-x+8 .
  • D'une part :
    • 3x=0⇔x=03x=0\Leftrightarrow x=0
    Soit x↦3xx\mapsto 3x est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=3>0m=3\gt 0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x3x par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0x=0 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Sur l'intervalle [0;12]\left[0;12\right], on a donc 3x=03x=0 pour x=0x=0 et 3x>03x\gt 0 ensuite.
  • D'autre part :
    • −x+8=0⇔−x=−8⇔x=8-x+8=0\Leftrightarrow -x=-8\Leftrightarrow x=8
    Soit x↦−x+8x\mapsto -x+8 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−1<0m=-1\lt 0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −x+8-x+8 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=8x=8 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    De plus :
  • f(0)=−03+12×02+4⇔f(0)=4f\left(0\right)=-0^{3}+12\times 0^{2}+4\Leftrightarrow f\left(0\right)=4
  • f(8)=−83+12×82+4⇔f(8)=260f\left(8\right)=-8^{3}+12\times 8^{2}+4\Leftrightarrow f\left(8\right)=260
  • f(12)=−123+12×122+4⇔f(12)=4f\left(12\right)=-12^{3}+12\times 12^{2}+4\Leftrightarrow f\left(12\right)=4
    • Question 6

    Déterminer la valeur exacte du nombre de malades la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie.

    Correction
    D'après le tableau de variation, ff est croissante sur [0;8]\left[0;8\right] puis décroissante sur [8;12]\left[8;12\right] : son maximum est atteint pour x=8x=8.
    f(8)=−83+12×82+4f\left(8\right)=-8^{3}+12\times 8^{2}+4
    D'après l'aide au calcul, 83=5128^{3}=512 et 12×82=76812\times 8^{2}=768. Il vient alors que :
    f(8)=−512+768+4f\left(8\right)=-512+768+4
    Ainsi :
    f(8)=260f\left(8\right)=260

    La semaine du pic de l'épidémie, on a observé exactement 260260 malades : on retrouve la lecture graphique de la question 1.

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