Métropole (secours) – 12 juin 2026 - Exercice 1

30 min
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Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre 00 et 5050 litres de cette eau florale. Chaque litre d'eau florale est vendu 7070 €. Le coût de production, en euros, de xx litres d'eau florale est modélisé par la fonction CC dont l'expression est C(x)=x2+20x+400C\left(x\right)=x^{2}+20x+400 où xx appartient à l'intervalle [0;50]\left[0;50\right].
Question 1

Déterminer le coût de production de 1010 litres d'eau florale.

Correction
Il nous faut calculer C(10)C\left(10\right).
C(10)=102+20×10+400C\left(10\right)=10^{2}+20\times 10+400
C(10)=100+200+400C\left(10\right)=100+200+400
Ainsi :
C(10)=700C\left(10\right)=700

Le coût de production de 1010 litres d'eau florale est de 700700 €.
Question 2

On note R(x)R\left(x\right) la recette, en euros, correspondant au prix de vente de xx litres d'eau florale.
Exprimer R(x)R\left(x\right) en fonction de xx.

Correction
Chaque litre est vendu 7070 € : pour xx litres, la recette est 7070 fois xx.
R(x)=70xR\left(x\right)=70x
Question 3
Le bénéfice, en euros, pour la production et la vente de xx litres d'eau florale est modélisé par la fonction BB. Son expression est obtenue en soustrayant le coût de production de la recette :
B(x)=R(x)−C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) où xx appartient à l'intervalle [0;50]\left[0;50\right].

Montrer que B(x)=−x2+50x−400B\left(x\right)=-x^{2}+50x-400 où xx appartient à l'intervalle [0;50]\left[0;50\right].

Correction
B(x)=R(x)−C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) équivaut successivement à :
B(x)=70x−(x2+20x+400)B\left(x\right)=70x-\left(x^{2}+20x+400\right)
B(x)=70x−x2−20x−400B\left(x\right)=70x-x^{2}-20x-400 (le signe « −- » devant la parenthèse change tous les signes)
Ainsi, pour tout x∈[0;50]x\in\left[0;50\right] :
B(x)=−x2+50x−400B\left(x\right)=-x^{2}+50x-400
Question 4

Calculer B′(x)B'\left(x\right) où B′B' est la fonction dérivée de la fonction BB.

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • BB est dérivable sur [0;50]\left[0;50\right].
    B′(x)=−1×2x+50B'\left(x\right)=-1\times 2x+50
    Ainsi :
    B′(x)=−2x+50B'\left(x\right)=-2x+50
    Question 5

    Déterminer le signe de B′(x)B'\left(x\right) sur l'intervalle [0;50]\left[0;50\right].

    Correction
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation B′(x)=0B'\left(x\right)=0.
    1ère étape : Résoudre l'équation B′(x)=0B'\left(x\right)=0
    B′(x)=0B'\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
    −2x+50=0-2x+50=0
    −2x=−50-2x=-50
    x=−50−2x=\dfrac{-50}{-2}
    x=25x=25

    2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction B′B'.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

    Soit x↦−2x+50x\mapsto -2x+50 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−2<0m=-2\lt 0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −2x+50-2x+50 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=25x=25 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[0;25]x\in\left[0;25\right] alors B′(x)≥0B'\left(x\right)\ge 0 ;
    • si x∈[25;50]x\in\left[25;50\right] alors B′(x)≤0B'\left(x\right)\le 0.
    Question 6

    Dresser le tableau de variation de la fonction BB sur l'intervalle [0;50]\left[0;50\right].
    Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente :
    • si x∈[0;25]x\in\left[0;25\right] alors B′(x)≥0B'\left(x\right)\ge 0 et donc BB est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[25;50]x\in\left[25;50\right] alors B′(x)≤0B'\left(x\right)\le 0 et donc BB est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    Pour information (non demandé) : B(0)=−400B\left(0\right)=-400, B(25)=225B\left(25\right)=225 et B(50)=−400B\left(50\right)=-400.
    Question 7

    En déduire le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

    Correction
    D'après le tableau de variation, BB est croissante sur [0;25]\left[0;25\right] puis décroissante sur [25;50]\left[25;50\right] : son maximum est atteint pour x=25x=25.
    L'entreprise doit produire et vendre 2525 litres d'eau florale.

    Le bénéfice maximal est alors B(25)=−252+50×25−400=−625+1  250−400=225B\left(25\right)=-25^{2}+50\times 25-400=-625+1\;250-400=225 €.
    Attention : la question demande un nombre de litres (2525), pas le bénéfice (225225 €).
    Question 8

    Vérifier que B(x)=(x−10)(40−x)B\left(x\right)=\left(x-10\right)\left(40-x\right).

    Correction
    Double distributivité : pour tous nombres réels aa, bb, cc et dd :
    (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d{\color{red}\boxed{\left(a+b\right)\left(c+d\right)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d}}
    Nous allons développer l'expression (x−10)(40−x)\left(x-10\right)\left(40-x\right) et nous allons vérifier qu'elle est bien égale à B(x)B\left(x\right).
    (x−10)(40−x)=x×40+x×(−x)+(−10)×40+(−10)×(−x)\left(x-10\right)\left(40-x\right)=x\times 40+x\times\left(-x\right)+\left(-10\right)\times 40+\left(-10\right)\times\left(-x\right)
    (x−10)(40−x)=40x−x2−400+10x\left(x-10\right)\left(40-x\right)=40x-x^{2}-400+10x
    (x−10)(40−x)=−x2+50x−400\left(x-10\right)\left(40-x\right)=-x^{2}+50x-400
    Il en résulte donc que pour tout x∈[0;50]x\in\left[0;50\right] :
    B(x)=(x−10)(40−x)B\left(x\right)=\left(x-10\right)\left(40-x\right)
    Question 9

    Étudier le signe de (x−10)(40−x)\left(x-10\right)\left(40-x\right) sur l'intervalle [0;50]\left[0;50\right] (on pourra utiliser un tableau de signes).

    Correction
    Pour étudier le signe de (x−10)(40−x)\left(x-10\right)\left(40-x\right) nous allons étudier le signe de x−10x-10 et le signe de 40−x40-x .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D'une part :
    • x−10=0⇔x=10x-10=0\Leftrightarrow x=10
    Soit x↦x−10x\mapsto x-10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=1>0m=1\gt 0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10x-10 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=10x=10 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D'autre part :
    • 40−x=0⇔−x=−40⇔x=4040-x=0\Leftrightarrow -x=-40\Leftrightarrow x=40
    Soit x↦40−xx\mapsto 40-x est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−1<0m=-1\lt 0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 40−x40-x par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=40x=40 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    On utilise ensuite la règle des signes pour le produit :
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[0;10[x\in\left[0;10\right[ alors B(x)<0B\left(x\right)\lt 0 ;
    • si x∈]10;40[x\in\left]10;40\right[ alors B(x)>0B\left(x\right)\gt 0 ;
    • si x∈]40;50]x\in\left]40;50\right] alors B(x)<0B\left(x\right)\lt 0.
    Question 10

    En déduire les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif.

    Correction
    D'après la question précédente, B(x)>0B\left(x\right)\gt 0 pour x∈]10;40[x\in\left]10;40\right[, et B(10)=B(40)=0B\left(10\right)=B\left(40\right)=0.
    L'entreprise réalise un bénéfice positif lorsqu'elle produit et vend entre 1010 et 4040 litres d'eau florale.
    Pour exactement 1010 ou 4040 litres, le bénéfice est nul ; en dehors de [10;40]\left[10;40\right], l'entreprise perd de l'argent.

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