Lecture graphique : nombre dérivé et tangente - Exercice 1

6 min
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Question 1

La courbe Cf\mathscr{C}_{f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_{f} au point AA d'abscisse 00.
On admet que ff est dérivable en 00. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivé f′(0)f'\left(0\right).

Correction
f′(0)f'\left(0\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente à la courbe au point d'abscisse 00. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(0;−2)A\left(0;-2\right) et B(1;0)B\left(1;0\right) appartiennent à cette tangente. Le point AA est aussi sur la courbe, donc f(0)=−2f\left(0\right)=-2. Le point BB, lui, n'est pas sur la courbe : il sert seulement à calculer le coefficient directeur de la tangente.
Soient mm et pp deux réels et gg la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=mx+pg\left(x\right)=mx+p.
  • Pour tous réels aa et bb distincts, le taux d'accroissement de gg entre aa et bb est g(b)−g(a)b−a=m\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{b-a}=m : il est constant.
  • Ce nombre mm est le coefficient directeur de la droite qui représente gg.
À l'aide des points AA et BB, on calcule le coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente.
f′(0)=yB−yAxB−xAf'\left(0\right)=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
f′(0)=0−(−2)1−0f'\left(0\right)=\frac{0-\left(-2\right)}{1-0}
Ainsi :
f′(0)=2f'\left(0\right)=2

Question 2

La courbe Cf\mathscr{C}_{f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_{f} au point AA d'abscisse −3-3.
On admet que ff est dérivable en −3-3. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivé f′(−3)f'\left(-3\right).

Correction
f′(−3)f'\left(-3\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente à la courbe au point d'abscisse −3-3. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(−3;−2)A\left(-3;-2\right) et B(−5;−7)B\left(-5;-7\right) appartiennent à cette tangente. Le point AA est aussi sur la courbe, donc f(−3)=−2f\left(-3\right)=-2. Le point BB, lui, n'est pas sur la courbe : il sert seulement à calculer le coefficient directeur de la tangente.
Soient mm et pp deux réels et gg la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=mx+pg\left(x\right)=mx+p.
  • Pour tous réels aa et bb distincts, le taux d'accroissement de gg entre aa et bb est g(b)−g(a)b−a=m\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{b-a}=m : il est constant.
  • Ce nombre mm est le coefficient directeur de la droite qui représente gg.
À l'aide des points AA et BB, on calcule le coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente.
f′(−3)=yA−yBxA−xBf'\left(-3\right)=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}
f′(−3)=−2−(−7)−3−(−5)f'\left(-3\right)=\frac{-2-\left(-7\right)}{-3-\left(-5\right)}
Ainsi :
f′(−3)=52f'\left(-3\right)=\frac{5}{2}

Question 3

La courbe Cf\mathscr{C}_{f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_{f} au point AA d'abscisse 22.
On admet que ff est dérivable en 22. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivé f′(2)f'\left(2\right).

Correction
f′(2)f'\left(2\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente à la courbe au point d'abscisse 22. (Ici la tangente est bleue)
La tangente est horizontale. Cela signifie que son coefficient directeur est nul.
Ainsi :
f′(2)=0f'\left(2\right)=0

Question 4

La courbe Cf\mathscr{C}_{f} ci-dessous représente une fonction ff définie sur R\mathbb{R}. La droite TT est la tangente à la courbe Cf\mathscr{C}_{f} au point AA d'abscisse −5-5.
On admet que ff est dérivable en −5-5. Par lecture graphique, déterminer le nombre dérivé f′(−5)f'\left(-5\right).

Correction
f′(−5)f'\left(-5\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente à la courbe au point d'abscisse −5-5. (Ici la tangente est bleue)
Les points A(−5;−2)A\left(-5;-2\right) et B(−10;4)B\left(-10;4\right) appartiennent à cette tangente. Le point AA est aussi sur la courbe, donc f(−5)=−2f\left(-5\right)=-2. Le point BB, lui, n'est pas sur la courbe : il sert seulement à calculer le coefficient directeur de la tangente.
Soient mm et pp deux réels et gg la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par g(x)=mx+pg\left(x\right)=mx+p.
  • Pour tous réels aa et bb distincts, le taux d'accroissement de gg entre aa et bb est g(b)−g(a)b−a=m\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{b-a}=m : il est constant.
  • Ce nombre mm est le coefficient directeur de la droite qui représente gg.
À l'aide des points AA et BB, on calcule le coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente.
f′(−5)=yA−yBxA−xBf'\left(-5\right)=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}
f′(−5)=−2−4−5−(−10)f'\left(-5\right)=\frac{-2-4}{-5-\left(-10\right)}
Ainsi :
f′(−5)=−65=−65f'\left(-5\right)=\frac{-6}{5}=-\frac{6}{5}

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