Déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme de degré $$2$$ - Exercice 1

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-3;2\right]$$.
$$f'\left(x\right)=3\times 2x+12$$
Ainsi :

D'après la question précédente, nous savons que :
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation $$f'\left(x\right)= 0$$.
1^ère étape : Résoudre l'équation $$f'\left(x\right)=0$$
$$f'\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$6x+12= 0$$
$$6x=-12$$
$$x= \frac{-12}{6}$$

2^ème étape : Donner le sens de variation de la fonction $$f'$$.
Soit $$x\mapsto 6x+12$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) $$m=6>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$6x+12$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-3;-2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-2;2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

$$f\left(-3\right)=3\times\left(-3\right)^2+12\times\left(-3\right)-5\Leftrightarrow f\left(-3\right)=-14$$

$$f\left(-2\right)=3\times\left(-2\right)^2+12\times\left(-2\right)-5\Leftrightarrow f\left(-2\right)=-17$$

$$f\left(2\right)=3\times2^2+12\times2-5\Leftrightarrow f\left(2\right)=31$$