Centres étrangers – 8 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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Soit la fonction ff définie et dérivable sur [0;10]\left[0;10\right] par :
f(x)=−x3+4,5x2−6x+2f\left(x\right)=-x^{3}+4{,}5x^{2}-6x+2
Question 1

Calculer l'expression de la dérivée f′f' en fonction de xx.

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
  • La dérivée de x3{\color{blue}x^{3}} est 3x2.{\color{blue}3x^{2}} .
  • La dérivée d'un nombre×x3{\color{blue}nombre\times x^{3}} est nombre×3x2.{\color{blue}nombre\times3x^{2}} .
    • ff est dérivable sur [0;10]\left[0;10\right].
    f′(x)=−1×3x2+4,5×2x−6f'\left(x\right)=-1\times 3x^{2}+4{,}5\times 2x-6
    Ainsi :
    f′(x)=−3x2+9x−6f'\left(x\right)=-3x^{2}+9x-6
    Question 2

    Vérifier que, pour xx appartenant à [0;10]\left[0;10\right], f′(x)=(3x−6)(1−x)f'\left(x\right)=\left(3x-6\right)\left(1-x\right).

    Correction
    Double distributivité : pour tous nombres réels aa, bb, cc et dd :
    (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d{\color{red}\boxed{\left(a+b\right)\left(c+d\right)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d}}
    Nous allons développer l'expression (3x−6)(1−x)\left(3x-6\right)\left(1-x\right) et nous allons vérifier qu'elle est bien égale à f′(x)f'\left(x\right).
    (3x−6)(1−x)=3x×1+3x×(−x)+(−6)×1+(−6)×(−x)\left(3x-6\right)\left(1-x\right)=3x\times 1+3x\times\left(-x\right)+\left(-6\right)\times 1+\left(-6\right)\times\left(-x\right)
    (3x−6)(1−x)=3x−3x2−6+6x\left(3x-6\right)\left(1-x\right)=3x-3x^{2}-6+6x
    (3x−6)(1−x)=−3x2+9x−6\left(3x-6\right)\left(1-x\right)=-3x^{2}+9x-6
    Il en résulte donc que pour tout réel x∈[0;10]x\in\left[0;10\right] :
    f′(x)=(3x−6)(1−x)f'\left(x\right)=\left(3x-6\right)\left(1-x\right)
    Question 3

    Étudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) pour xx appartenant à [0;10]\left[0;10\right].

    Correction
    Pour étudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) nous allons étudier le signe de 3x−63x-6 et le signe de 1−x1-x .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D'une part :
    • 3x−6=0⇔3x=6⇔x=63=23x-6=0\Leftrightarrow 3x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{3}=2
    Soit x↦3x−6x\mapsto 3x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=3>0m=3\gt 0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x−63x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D'autre part :
    • 1−x=0⇔−x=−1⇔x=11-x=0\Leftrightarrow -x=-1\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦1−xx\mapsto 1-x est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) m=−1<0m=-1\lt 0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 1−x1-x par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    On utilise ensuite la règle des signes pour le produit :
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[0;1]x\in\left[0;1\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 ;
    • si x∈[1;2]x\in\left[1;2\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 ;
    • si x∈[2;10]x\in\left[2;10\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0.
    Question 4

    En déduire les variations de ff sur [0;10]\left[0;10\right].
    Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente :
    • si x∈[0;1]x\in\left[0;1\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x∈[1;2]x\in\left[1;2\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[2;10]x\in\left[2;10\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    Pour information (non demandé) : f(0)=2f\left(0\right)=2, f(1)=−0,5f\left(1\right)=-0{,}5, f(2)=0f\left(2\right)=0 et f(10)=−608f\left(10\right)=-608.

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