Asie – 15 juin 2026 - Exercice 1

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Cet exercice s'intéresse à la croissance d'une personne appelée Juliette. Sa croissance est modélisée par la fonction ff, représentée ci-dessous.
La vitesse de croissance de Juliette (en cm par an) à une date donnée tt est égale au nombre dérivé f′(t)f'\left(t\right).
On a également représenté trois tangentes à la courbe représentative de ff : celles aux points A, B et C.
On répondra aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique :
Question 1

Estimer la taille de Juliette le jour de ses 1414 ans.

Correction
La taille de Juliette le jour de ses 1414 ans est f(14)f\left(14\right) : c'est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1414, c'est-à-dire du point B.
f(14)≈160f\left(14\right)\approx 160

Le jour de ses 1414 ans, Juliette mesure environ 160160 cm.
Question 2

À quel âge Juliette grandissait-elle le plus vite, à 1212 ans ou à 1414 ans ? Justifier.

Correction
La vitesse de croissance à 1212 ans est f′(12)f'\left(12\right) et à 1414 ans, c'est f′(14)f'\left(14\right).
f′(12)f'\left(12\right) correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente au point A, et f′(14)f'\left(14\right) à celui de la tangente au point B.
Soient mm et pp deux réels et ff la fonction affine définie sur R\mathbb{R} par f(x)=mx+pf\left(x\right)=mx+p
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb se calcule de la manière suivante : m=f(b)−f(a)b−am=\dfrac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} et mm est constant.
  • Le taux d'accroissement mm de ff entre deux réels aa et bb est également appelé coefficient directeur.
  • D'une part :
    • La tangente au point A passe par les points (5;110)\left(5;110\right) et A(12;152)A\left(12;152\right) :
    f′(12)=152−11012−5=427=6f'\left(12\right)=\dfrac{152-110}{12-5}=\dfrac{42}{7}=6
  • D'autre part :
    • La tangente au point B passe par les points (10;150)\left(10;150\right) et B(14;160)B\left(14;160\right) :
    f′(14)=160−15014−10=104=2,5f'\left(14\right)=\dfrac{160-150}{14-10}=\dfrac{10}{4}=2{,}5
    Ainsi :
    f′(12)>f′(14)f'\left(12\right)\gt f'\left(14\right)

    Juliette grandissait plus vite à 1212 ans (environ 66 cm par an) qu'à 1414 ans (environ 2,52{,}5 cm par an).
    Graphiquement : la tangente en A est plus « pentue » que la tangente en B.
    Question 3

    Pourquoi peut-on considérer que Juliette a terminé sa croissance à 1717 ans ?

    Correction
    La tangente à la courbe au point C, d'abscisse 1717, est horizontale. Cela signifie que son coefficient directeur est nul :
    f′(17)=0f'\left(17\right)=0

    À 1717 ans, la vitesse de croissance de Juliette est nulle. De plus, après 1717 ans la courbe est horizontale : la taille ne change plus.
    On peut donc considérer que Juliette a terminé sa croissance à 1717 ans.
    Question 4

    Estimer la taille adulte de Juliette.

    Correction
    Après 1717 ans, la courbe reste à la hauteur du point C, d'ordonnée environ 163163.
    La taille adulte de Juliette est d'environ 163163 cm.

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