Antilles-Guyane – 11 septembre 2026 - Exercice 1

On développe $$f\left(t\right)=\left(2-0{,}5t\right)\left(7t+1\right)$$.
$$f\left(t\right)$$ équivaut successivement à :
$$2\times 7t+2\times 1-0{,}5t\times 7t-0{,}5t\times 1$$
$$14t+2-3{,}5t^{2}-0{,}5t$$
$$-3{,}5t^{2}+14t-0{,}5t+2$$
Ainsi, pour tout $$t\in\left[0;+\infty\right[$$ :

$$f\left(0\right)=-3{,}5\times 0^{2}+13{,}5\times 0+2$$
Ainsi :
À l'instant $$t=0$$, le projectile est à $$2$$ mètres de hauteur : il est lancé à $$2$$ m du sol.

On trace la droite horizontale d'équation $$y=12$$ et on cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de cette droite.La courbe coupe la droite pour $$t=1$$ et pour $$t\approx 2{,}9$$.
Par le calcul, on trouverait exactement $$t\in\left[1;\dfrac{20}{7}\right]$$, avec $$\dfrac{20}{7}\approx 2{,}86$$.

Le projectile touche le sol lorsque sa hauteur est nulle : il nous faut résoudre l'équation $$f\left(t\right)=0$$ avec $$t\ge 0$$.
On utilise la forme factorisée de l'énoncé : $$\left(2-0{,}5t\right)\left(7t+1\right)=0$$.
Il s'agit d'une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

D'une part :

$$2-0{,}5t=0\Leftrightarrow -0{,}5t=-2\Leftrightarrow t=\dfrac{-2}{-0{,}5}=4$$

D'autre part :

$$7t+1=0\Leftrightarrow 7t=-1\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{7}$$
Or $$-\dfrac{1}{7}\lt 0$$ n'appartient pas à l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ : cette solution ne convient pas.
C'est cohérent avec le tableau de variation : après $$t=\dfrac{27}{14}\approx 1{,}9$$, la hauteur diminue jusqu'à devenir nulle.