Amérique du Nord – 1^er juin 2026 - Exercice 1

$$f\left(3\right)$$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $$3$$. On part de $$3$$ sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée sur l'axe des ordonnées.Par lecture graphique :

$$f'\left(-1\right)$$ correspond au coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$-1$$. (Ici la tangente est rouge)
Les points $$A\left(-1;5\right)$$ et $$B\left(0;9\right)$$ appartiennent à cette tangente.
À l'aide du point $$A$$ et du point $$B$$ on va pouvoir donner le coefficient directeur (taux d'accroissement) de la tangente.
$$f'\left(-1\right)=\dfrac{9-5}{0-\left(-1\right)}$$
$$f'\left(-1\right)=\dfrac{4}{1}$$
Ainsi :

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-2;4\right]$$.
$$f'\left(x\right)=-1\times 2x+2$$
Ainsi : Vérification : $$f'\left(-1\right)=-2\times\left(-1\right)+2=4$$ : on retrouve bien le nombre dérivé lu à la question 1.

D'après la question précédente, nous savons que :
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'équation $$f'\left(x\right)=0$$.
1^ère étape : Résoudre l'équation $$f'\left(x\right)=0$$
$$f'\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-2x+2=0$$
$$-2x=-2$$
$$x=\dfrac{-2}{-2}$$

2^ème étape : Donner le sens de variation de la fonction $$f'$$.

Soit $$x\mapsto -2x+2$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur (taux d'accroissement) $$m=-2\lt 0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-2x+2$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-2;1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge 0$$ ;
• si $$x\in\left[1;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le 0$$.

D'après la question précédente :

• si $$x\in\left[-2;1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge 0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le 0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

$$f\left(-2\right)=-\left(-2\right)^{2}+2\times\left(-2\right)+8\Leftrightarrow f\left(-2\right)=0$$

$$f\left(1\right)=-1^{2}+2\times 1+8\Leftrightarrow f\left(1\right)=9$$

$$f\left(4\right)=-4^{2}+2\times 4+8\Leftrightarrow f\left(4\right)=0$$

On le voit sur la courbe : elle monte jusqu'au point de coordonnées $$\left(1;9\right)$$, puis elle descend.