Nous allons utiliser la forme
f(x)=ln(e2x−ex)f est dérivable sur
]0;+∞[.
(ln(u))′=uu′ f′(x)=e2x−ex2e2x−exf′(x)=e2x−exex(2ex−1)Pour tout réel
x>0, on vérifie aisément que
ex>0 et
e2x−ex>0. En effet ,
e2x−ex>0 car sinon
ln(e2x−ex) ne serait pas définie.
Il en résulte donc que le signe de
f′ dépend de
2ex−1.
Comme
x>0, nous avons alors :
x>0⇔ex>1⇔2ex>2⇔2ex−1>1Il en résulte donc que pour tout réel
x>0, on a :
f′(x)>0 et de ce fait la fonction
f est strictement
croissante sur
]0;+∞[.