QCM

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Soit $z=6-2i$

La partie réelle de $z$, notée $\text{Re}\left(z\right)$, est égale à $6$.

La partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}\left(z\right)$, est égale à $-2$.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Soit $z=\frac{1-3i}{2+4i}$ . Pour répondre à la question, il faut donner la forme algébrique de $z$.
$z=\frac{1-3i}{2+4i}$ on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur c'est-à-dire par $2-4i$ .
$z=\frac{\left(1-3i\right)\left(2-4i\right)}{\left(2+4i\right)\left(2-4i\right)}$
$z=\frac{2-4i-6i+12i^{2} }{2^{2} +4^{2} }$
$z=\frac{2-4i-6i+12\times \left(-1\right)}{4+16}$
$z=\frac{2-4i-6i-12}{20}$
$z=\frac{-10-10i}{20}$
$z=-\frac{10}{20} -\frac{10i}{20}$
Ainsi :

La partie réelle de $z$, notée $\text{Re}\left(z\right)$, est égale à $-\frac{1}{2}$.

La partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}\left(z\right)$, est égale à $-\frac{1}{2}$.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Soit $z$ un nombre complexe différent de $-1$. On pose $z=x+iy$.
On a alors :
$Z=\frac{1}{z+1}$ équivaut successivement à
$Z=\frac{1}{x+iy+1}$
$Z=\frac{1}{\left(x+1\right)+iy}$
$Z=\frac{\left(x+1\right)-iy}{\left(\left(x+1\right)+iy\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}$
$Z=\frac{\left(x+1\right)-iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
$Z=\left(1-i\right)^{2} \left(2+i\right)$ équivaut successivement à :
$Z=\left(1-2i+i^{2} \right)\left(2+i\right)$
$Z=\left(1-2i-1\right)\left(2+i\right)$
$Z=-2i\left(2+i\right)$
$Z=-4i-2i^{2}$
$Z=-4i-2\times \left(-1\right)$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
Nous allons appliquer le binôme de Newton.
Dans un premier temps, nous écrivons $\left(2-3i\right)^{4}$ sous la forme $\left(2+\left(-3i\right)\right)^{4}$ . Cette écriture nous permet d'identifier que $a=2$ et $b=-3i$ . Il en résulte donc que :
$\left(2-3i\right)^{4} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {4} \\ {k} \end{array}\right) 2^{k} \left(-3i\right)^{4-k}$ équivaut successivement à :
$\left(2-3i\right)^{4} =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)2^{0} \left(-3i\right)^{4} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)2^{1} \left(-3i\right)^{4-1} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)2^{2} \left(-3i\right)^{4-2} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)2^{3} \left(-3i\right)^{4-3} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)2^{4} \left(-3i\right)^{4-4}$
$\left(2-3i\right)^{4} =\red{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)}2^{0} \left(-3i\right)^{4} +\blue{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)}2^{1} \left(-3i\right)^{3} +\pink{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)}2^{2} \left(-3i\right)^{2} +\purple{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}2^{3} \left(-3i\right)^{1} +\green{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)}2^{4} \left(-3i\right)^{0}$
$\left(2-3i\right)^{4} =\red{1}\times 2^{0} \left(-3i\right)^{4} +\blue{4}\times 2^{1} \left(-3i\right)^{3} +\pink{6}\times 2^{2} \left(-3i\right)^{2} +\purple{4}\times 2^{3} \left(-3i\right)^{1} +\green{1}\times 2^{4} \left(-3i\right)^{0}$
$\left(2-3i\right)^{4} =1\times 1\times \left(-3i\right)^{4} +4\times 2\times \left(-3i\right)^{3} +6\times 4\times \left(-3i\right)^{2} +4\times 8\times \left(-3i\right)^{1} +1\times 16\times \left(-3i\right)^{0}$
$\left(2-3i\right)^{4} =1\times 1\times 81 +4\times 2\times 27i +6\times 4\times \left(-9\right) +4\times 8\times\left(-3i\right) +1\times 16\times 1$
$\left(2-3i\right)^{4} = 81 +216i -216 -96i +16$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
L'inverse de $i^{7}$ s'écrit :
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{1}{i^{6} \times i}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{1}{\left(i^{2} \right)^{3} \times i}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{1}{\left(-1\right)^{3} \times i}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{1}{-i}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{1\times i}{\left(-i\right)\times i}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{i}{-i^{2} }$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{i}{-\left(-1\right)}$
$\frac{1}{i^{7} } =\frac{i}{1}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$Posons alors $z=x+iy$ et $\overline{z}=x-iy$
$6z-3\overline{z}=5-7i$ équivaut successivement à :
$6\left(x+iy\right)-3\left(x-iy\right)=5-7i$
$6x+6iy-3x+3iy=5-7i$
$3x+9iy=5-7i$
${\color{blue}{3x}}+{\color{red}{9}}i{\color{red}{y}}={\color{blue}{5}}{\color{red}{-7}}i$
On obtient le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{3x}}} & {=} & {{\color{blue}{5}}} \\ {{\color{red}{9y}}} & {=} & {{\color{red}{-7}}} \end{array}\right.$
Ainsi : $\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5}{3}} \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{9}} \end{array}\right.$
La solution est $z=\frac{5}{3}-\frac{7}{9}i$ autrement dit $S=\left\{\frac{5}{3}-\frac{7}{9}i\right\}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$$\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {k} \\ {n} \end{array}\right)\left(-1\right)^{k} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {k} \\ {n} \end{array}\right)\left({\color{blue}{-1}}\right)^{k} \times \left({\color{red}{1}}\right)^{n-k}$ .Nous avons ici multiplier par $\left({\color{red}{1}}\right)^{n-k}$ qui est égale à $1$ donc cela ne change pas la valeur du produit.
$\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {k} \\ {n} \end{array}\right)\left(-1\right)^{k} =\left(\left({\color{blue}{-1}}\right)+{\color{red}{1}}\right)^{n}$
$\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {k} \\ {n} \end{array}\right)\left(-1\right)^{k} =\left(0\right)^{n}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
$1+j+j^{2} =1+\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2}$
$1+j+j^{2} =1-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} +2\times \left(-\frac{1}{2} \right)\times \left(i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\left(i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} \right)$
$1+j+j^{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(\frac{1}{4} -i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(i\right)^{2} \times \left(\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} \right)$
$1+j+j^{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(\frac{1}{4} -i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(i\right)^{2} \times \frac{\left(\sqrt{3} \right)^{2} }{2^{2} } \right)$
$1+j+j^{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(\frac{1}{4} -i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{3}{4} \right)$
$1+j+j^{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(-i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{2}{4} \right)$
$1+j+j^{2} =\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} +\left(-i\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} \right)$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
$Z=\left(1-3i\right)^{2} +5\left(2-i\right)+2$
$Z=1^{2} -2\times 1\times 3i+\left(3i\right)^{2} +10-5i+2$
$Z=1-6i+9i^{2} +10-5i+2$
$Z=1-6i-9+10-5i+2$
Ainsi :