La bonne reˊponse est bNous allons appliquer le binôme de Newton.
Formule du binoˆme de Newton
Soient
a et
b deux nombres complexes. Pour tout entier naturel
n, on a :
(a+b)n=k=0∑n(nk)akbn−k Dans un premier temps, nous écrivons
(2−3i)4 sous la forme
(2+(−3i))4 . Cette écriture nous permet d'identifier que
a=2 et
b=−3i . Il en résulte donc que :
(2−3i)4=k=0∑n(4k)2k(−3i)4−k équivaut successivement à :
(2−3i)4=(40)20(−3i)4+(41)21(−3i)4−1+(42)22(−3i)4−2+(43)23(−3i)4−3+(44)24(−3i)4−4 (2−3i)4=(40)20(−3i)4+(41)21(−3i)3+(42)22(−3i)2+(43)23(−3i)1+(44)24(−3i)0 (2−3i)4=1×20(−3i)4+4×21(−3i)3+6×22(−3i)2+4×23(−3i)1+1×24(−3i)0 (2−3i)4=1×1×(−3i)4+4×2×(−3i)3+6×4×(−3i)2+4×8×(−3i)1+1×16×(−3i)0 (2−3i)4=1×1×81+4×2×27i+6×4×(−9)+4×8×(−3i)+1×16×1 (2−3i)4=81+216i−216−96i+16 Ainsi :
(2−3i)4=−119+120i