Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Congruences

Exercice 1

Compléter les congruences suivantes :
1

34[7]34\equiv \ldots \left[7\right]

Correction
2

109[8]109\equiv \ldots \left[8\right]

Correction
3

121[4]121\equiv \ldots \left[4\right]

Correction
4

843[6]843\equiv \ldots \left[6\right]

Correction
5

439[12]439\equiv \ldots \left[12\right]

Correction

Exercice 2

Soient deux entiers xx et yy tels que x5[9]x\equiv 5 \left[9\right] et y8[9]y\equiv 8 \left[9\right]. Donner le reste de la division euclidienne par 99 de :
1

2x2x

Correction
2

x+yx+y

Correction
3

xyxy

Correction
4

y2y^{2}

Correction
5

x2yx^{2}-y

Correction
Soient deux entiers xx et yy tels que x5[9]x\equiv 5 \left[9\right] et y8[9]y\equiv 8 \left[9\right]. Donner le reste de la division euclidienne par 99 de :
6

2x+102x+10

Correction
7

3x+2y3x+2y

Correction
8

y21y^{2}-1

Correction

Exercice 3

Soit nn un entier naturel. On considère le nombre A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 .
1

Quels sont les restes de la division euclidienne de nn par 44 .

Correction
2

En utilisant un tableau des congruences modulo 44, déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 est divisible par 44

Correction

Exercice 4

1

Déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n2+3n+2A=n^{2}+3n+2 est divisible par 55 .

Correction

Exercice 5

1

Déterminer le reste de la division euclidienne de 342834^{28} par 55 .

Correction
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