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Fonction logarithme népérien
Propriétés algébriques du logarithme - Exercice 2
10 min
20
Exprimer en fonction de
ln
(
3
)
\ln \left(3\right)
ln
(
3
)
chacun des nombres suivants :
Question 1
ln
(
9
)
\ln \left(9\right)
ln
(
9
)
Correction
Soient
a
a
a
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier.
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
ln
(
9
)
=
ln
(
3
2
)
\ln \left(9\right)=\ln \left(3^{2} \right)
ln
(
9
)
=
ln
(
3
2
)
Ainsi :
ln
(
9
)
=
2
ln
(
3
)
\ln \left(9\right)=2\ln \left(3\right)
ln
(
9
)
=
2
ln
(
3
)
Question 2
4
ln
(
27
)
4\ln \left(27\right)
4
ln
(
27
)
Correction
Soient
a
a
a
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier.
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
4
ln
(
27
)
=
4
ln
(
3
3
)
4\ln \left(27\right)=4\ln \left(3^{3} \right)
4
ln
(
27
)
=
4
ln
(
3
3
)
4
ln
(
27
)
=
4
×
3
ln
(
3
)
4\ln \left(27\right)=4\times3\ln \left(3 \right)
4
ln
(
27
)
=
4
×
3
ln
(
3
)
Ainsi :
4
ln
(
27
)
=
12
ln
(
3
)
4\ln \left(27\right)=12\ln \left(3 \right)
4
ln
(
27
)
=
12
ln
(
3
)
Question 3
ln
(
81
e
)
\ln \left(81e\right)
ln
(
81
e
)
Correction
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux réels strictement positifs.
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
=
ln
(
a
×
b
)
\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
=
ln
(
a
×
b
)
ln
(
e
)
=
1
\ln \left(e\right)=1
ln
(
e
)
=
1
ln
(
81
e
)
=
ln
(
81
)
+
ln
(
e
)
\ln \left(81e\right)=\ln \left(81\right)+\ln \left(e\right)
ln
(
81
e
)
=
ln
(
81
)
+
ln
(
e
)
ln
(
81
e
)
=
ln
(
3
4
)
+
1
\ln \left(81e\right)=\ln \left(3^{4} \right)+1
ln
(
81
e
)
=
ln
(
3
4
)
+
1
AInsi :
ln
(
81
e
)
=
4
ln
(
3
)
+
1
\ln \left(81e\right)=4\ln \left(3\right)+1
ln
(
81
e
)
=
4
ln
(
3
)
+
1
Question 4
ln
(
27
)
\ln \left(\sqrt{27} \right)
ln
(
27
)
Correction
Soit
a
a
a
un réel strictement positif.
1
2
ln
(
a
)
=
ln
(
a
)
\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
2
1
ln
(
a
)
=
ln
(
a
)
ln
(
27
)
=
1
2
ln
(
27
)
\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(27\right)
ln
(
27
)
=
2
1
ln
(
27
)
ln
(
27
)
=
1
2
ln
(
3
3
)
\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(3^{3} \right)
ln
(
27
)
=
2
1
ln
(
3
3
)
ln
(
27
)
=
1
2
×
3
×
ln
(
3
)
\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \times 3\times \ln \left(3\right)
ln
(
27
)
=
2
1
×
3
×
ln
(
3
)
Ainsi :
ln
(
27
)
=
3
2
ln
(
3
)
\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{3}{2} \ln \left(3\right)
ln
(
27
)
=
2
3
ln
(
3
)
Question 5
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
Correction
Soient
a
a
a
et
b
b
b
deux réels strictement positifs.
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
=
ln
(
a
b
)
\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
=
ln
(
b
a
)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
ln
(
12
4
)
+
3
ln
(
3
)
\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=\ln \left(\frac{12}{4} \right)+3\ln \left(3\right)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
ln
(
4
12
)
+
3
ln
(
3
)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
ln
(
3
)
+
3
ln
(
3
)
\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=\ln \left(3\right)+3\ln \left(3\right)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
ln
(
3
)
+
3
ln
(
3
)
Ainsi :
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
4
ln
(
3
)
\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=4\ln \left(3\right)
ln
(
12
)
−
ln
(
4
)
+
3
ln
(
3
)
=
4
ln
(
3
)