Fonction logarithme népérien

Les limites - Exercice 1

25 min
45
Question 1
Déterminer les limites suivantes :

limx+5+ln(x)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 5+\ln \left(x\right)

Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • limx+5=5limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }5} & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+5+ln(x)=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 5+\ln \left(x\right)=+\infty
    Question 2

    limx+4+2ln(x)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -4+2\ln \left(x\right)

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • limx+4=4limx+2ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-4} & {=} & {-4 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2\ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+4+2ln(x)=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -4+2\ln \left(x\right)=+\infty
    Question 3

    limx+6ln(x)+3\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -6\ln \left(x\right)+3

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • 1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  6ln(x)\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;-6\ln{(x)}}
    limx+6=6limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-6} & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    limx+6ln(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -6\ln \left(x\right)=-\infty

    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+3=3limx+6ln(x)=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -6\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+6ln(x)+3=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -6\ln \left(x\right)+3=-\infty
    Question 4

    limx+3ln(x)+5x+2\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 3\ln \left(x\right)+5x+2

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • limx+3ln(x)=+limx+5x+2=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }3\ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 5x+2} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+3ln(x)+5x+2=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 3\ln \left(x\right)+5x+2=+\infty
    Question 5

    limx+7ln(x)2x+1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -7\ln \left(x\right)-2x+1

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • 1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  7ln(x)\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;-7\ln{(x)}}
    limx+7=7limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-7} & {=} & {-7 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}   \;limx+7ln(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -7\ln \left(x\right)=-\infty
    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+2x+1=limx+7ln(x)=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-2x+1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -7\ln \left(x\right)} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+7ln(x)2x+1=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -7\ln \left(x\right)-2x+1=-\infty
    Question 6

    limx+2ln(x)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{\ln \left(x\right)}

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • limx+2=2limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln{(x)}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    limx+2ln(x)=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{\ln \left(x\right)}=0
    Question 7

    limx+(3x2)ln(x)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(\frac{3}{x} -2\right)\ln \left(x\right)

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • 1°)  Calculons  dans  un  second  temps  la  limite  de  3x2\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;second\;temps\;la\;limite\;de\;\frac{3}{x}-2}
    limx+3x=0limx+2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{3}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -2} & {=} & {-2} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
      \;limx+3x2=2\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}-2=-2

    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+ln(x)=+limx+3x2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\ln{(x)}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}-2} & {=} & {-2 } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    limx+(3x2)ln(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(\frac{3}{x} -2\right)\ln \left(x\right)=-\infty
    Question 8

    limx+ln(x)x2x+1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} -\frac{2}{x} +1

    Correction
  • limx+ln(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}=0
  • 1°)  Calculons  dans  un  second  temps  la  limite  de  2x+1\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;second\;temps\;la\;limite\;de\;\frac{-2}{x}+1}
    limx+2x=0limx+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-\frac{2}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    limx+2x+1=1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -\frac{2}{x}+1=1

    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+ln(x)x=0limx+2x+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{\ln{(x)}}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-2}{x}+1} & {=} & {1 } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    limx+ln(x)x2x+1=1\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} -\frac{2}{x} +1=1
    Question 9

    limx+3+ln(x)x\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{\ln \left(x\right)}{x}

    Correction
  • limx+ln(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}=0

  • limx+3=3limx+ln(x)x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }3} & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}} & {=} & {0 } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+3+ln(x)x=3\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{\ln \left(x\right)}{x}=3
    Question 10

    limx+(ln(x)+2)(3ln(x)5)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(\ln \left(x\right)+2\right)\left(-3\ln \left(x\right)-5\right)

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • 1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  ln(x)+2\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;\ln(x)+2}
    limx+2=2limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}   \;limx+ln(x)+2=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)+2=+\infty
    2°)  Calculons  dans  un  second  temps  la  limite  de  3ln(x)5\underline{\color{black}2°)\;Calculons\;dans\;un\;second\;temps\;la\;limite\;de\;-3\ln(x)-5}
    limx+3=3limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-3} & {=} & {-3 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}   \;limx+3ln(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -3\ln \left(x\right)=-\infty
    limx+3ln(x)=limx+5=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-3\ln{(x)}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -5} & {=} & {-5 } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    limx+3ln(x)5=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } -3\ln \left(x\right)-5=-\infty

    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+ln(x)+2=+limx+3lnx+5=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\ln{(x)}+2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -3\ln{x}+5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    limx+(ln(x)+2)(3ln(x)5)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(\ln \left(x\right)+2\right)\left(-3\ln \left(x\right)-5\right)=-\infty
    Question 11

    limx+(2x2)ln(x)\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2-x^{2} \right)\ln \left(x\right)

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • 1°)  Calculons  dans  un  second  temps  la  limite  de  2x2\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;second\;temps\;la\;limite\;de\;2-x^2}
    limx+2=2limx+x2=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^2} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}   \;limx+2x2=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2-x^2=-\infty

    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+2x2=limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2-x^2} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    limx+(2x2)ln(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2-x^{2} \right)\ln \left(x\right)=-\infty