Suites et récurrence

QCM Bilan Numéro 2

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, vous devez bien sur justifier.
1

Soit nn un entier naturel. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=3n+57n4u_{n} =\frac{3n+5}{7n-4} :
a.\bf{a.} converge vers 37\frac{3}{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} converge vers 54-\frac{5}{4}

c.\bf{c.} converge vers 33                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} diverge et à pour limite -\infty

Correction
2

Soit nn un entier naturel. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=3n+1×5nu_{n} =3^{n+1} \times 5^{-n} :
a.\bf{a.} converge vers 33                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} converge vers 55

c.\bf{c.} converge vers 00                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1515

Correction
3

Soit nn un entier naturel. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=2n2+3n54n+3u_{n} =\frac{2n^{2}+3n-5}{-4n+3} :
a.\bf{a.} converge vers 53-\frac{5}{3}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} converge vers 00

c.\bf{c.} diverge et à pour limite ++\infty                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} diverge et à pour limite -\infty

Correction
4

Soit nn un entier naturel. Soient deux suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) telles que unvnu_n\ge v_n . Quelle est la suite (un)\left(u_{n}\right) qui permet d'affirmer que limn+vn=\lim\limits_{n\to +\infty } v_n=-\infty .
a.\bf{a.} un=2n+3u_{n} =\frac{2}{n+3}                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} un=n+1u_{n} =n+1

c.\bf{c.} un=7n6u_{n} =\frac{7^{n} }{6}                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} un=7n6u_{n} =-\frac{7^{n} }{6}

Correction
5

Soit nn un entier naturel non nul. La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=n(4+2cos(n))u_{n} =n\left(4+2\cos \left(n\right)\right) :
a.\bf{a.} converge vers 44                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} converge vers 22

c.\bf{c.} diverge et à pour limite ++\infty                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} diverge et à pour limite -\infty

Correction
6

Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison 43\frac{4}{3} et de premier terme u0=5u_{0}=-5.
La limite de la somme des n+1n+1 termes de la suite (un)\left(u_{n} \right) est égale à :
a.\bf{a.} 00                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 43\frac{4}{3}

c.\bf{c.} ++\infty                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} -\infty

Correction
7

limn+sin(3n)n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\sin \left(3^{n} \right)}{n+1}=
a.\bf{a.} 00                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 11

c.\bf{c.} ++\infty                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} -\infty

Correction
8

limn+2n+(1)nnn+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n+\left(-1\right)^{n} \sqrt{n} }{n+1} =
a.\bf{a.} 00                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 22

c.\bf{c.} -\infty                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ++\infty

Correction
9

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=2un+3u_{n+1} =-2u_{n} +3
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=un+av_{n} =u_{n} +aaa est un réel.
La suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique si la valeur de aa est égale à :
a.\bf{a.} 4-4                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 3-3

c.\bf{c.} 2-2                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1-1

Correction
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