Suites et récurrence

QCM Bilan Numéro 1

Exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1

Soit la suite récurrente suivante définie par : {u0=2 et u1=1un+2=3un+1+2un+n22\left\{\begin{array}{c} {u_{0} =2{\text{ et }}u_{1} =-1} \\ {u_{n+2} =-3u_{n+1} +2u_{n} +n^{2} -2} \end{array}\right.
Proposition 1 :\blue{\text{Proposition 1 :}} « u3=18u_{3} =-18 ».

Correction
2

On considère la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=1u_{0} =1 et la relation de récurrence un+1=23un+2u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +2 pour tout entier naturel nn.
Proposition 2 :\blue{\text{Proposition 2 :}} « La suite (un)\left(u_{n} \right) est majorée par 66 »

Correction
3

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par u0=10u_{0} =10 et la relation de récurrence un+1=0,9un+1,2u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2.
Proposition 3 :\blue{\text{Proposition 3 :}} « Pour tout entier naturel nn un=122×(0.9)nu_{n} =12-2\times \left(0.9\right)^{n} ».

Correction
4

Soit la suite (un)(u_{n}) tel que un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_{n}) et u0=2u_{0}=2.
Le tableau de variation d'une fonction ff est le suivant :

Proposition 4 :\blue{\text{Proposition 4 :}} « La suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante » .

Correction
5

Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) définie par un=2n+sin(2n+3n+1)5+3nu_{n} =\frac{2n+\sin \left(\frac{2n+3}{n+1} \right)}{5+3n} pour tout entier naturel nn.
Proposition 5 :\blue{\text{Proposition 5 :}} « La suite (un)\left(u_{n} \right) est divergente ».

Correction
6

On considère les deux suites (un)\left(u_{n} \right) et (nn)\left(n_{n} \right) définies, pour tout entier naturel nn, par :
{u0=3un+1=un+vn2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{u_{n} +v_{n} }{2} } \end{array}\right. et {v0=4vn+1=un+1+vn2\left\{\begin{array}{ccc} {v_{0} } & {=} & {4} \\ {v_{n+1} } & {=} & {\frac{u_{n+1} +v_{n} }{2} } \end{array}\right.
Proposition 6 :\blue{\text{Proposition 6 :}} « La suite (wn)\left(w_{n} \right) définie pour tout entier naturel nn par wn=vnunw_{n} =v_{n} -u_{n} est une suite géométrique de raison 12\frac{1}{2} ».

Correction
On considère l'algorithme ci-dessous :
V9V\leftarrow 9
S9S\leftarrow 9
Pour KK allant de 11 à NN
     V0,75×VV\leftarrow 0,75\times V
     SS+VS\leftarrow S+ V
Fin Pour

7

Proposition 7 :\blue{\text{Proposition 7 :}} On affecte 33 à la variable NN. A la fin de l’exécution de l’algorithme , la variable SS vaut 26,426,4.

Correction
8

Proposition 8 :\blue{\text{Proposition 8 :}} 1+13+(13)2+(13)3++(13)2017=32×(1(13)2018)1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017} =\frac{3}{2}\times \left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)

Correction
9

Proposition 9 :\blue{\text{Proposition 9 :}}limn+2×6n+5×4n3×6n+8×4n=58{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2\times 6^{n} +5\times 4^{n} }{3\times 6^{n} +8\times 4^{n} } =\frac{5}{8}

Correction
10

Proposition 10 :\blue{\text{Proposition 10 :}} Pour tout entier naturel nn non nul, la suite (un)\left(u_n\right) définie par un=4nn!u_{n} =\frac{4^{n} }{n!} est décroissante.

Correction
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