La bonne reˊponse est bMeˊthode 1 : Pour déterminer la droite d'intersection des deux plans
P1 et
P2, il nous faut résoudre le système suivant :
{x+3yx−2y+z−1==00 Nous allons introduire un paramètre
t tel que
y=t avec
t∈R⎩⎨⎧x+3yyx−2y+z−1===0t0 avec
t∈R⎩⎨⎧x+3tyx−2t+z−1===0t0 avec
t∈R⎩⎨⎧xyx−2t+z−1===−3tt0 avec
t∈R⎩⎨⎧xy−3t−2t+z−1===−3tt0 avec
t∈R⎩⎨⎧xy−5t+z−1===−3tt0 avec
t∈RAinsi :
⎩⎨⎧xyz===−3tt5t+1 avec
t∈RMeˊthode 2 : Beaucoup plus longue .. Il va falloir tester les
4 propositions.
Les plans
P1 et
P2 sont sécants suivant une droite : cela signifie que la droite est confondue avec le plan
P1 et confondue également avec le plan
P2.
Vérifions si la droite
(d) est confondue avec le plan
P1.
Cela revient à chercher les points d'intersections entre la droite et le plan.
(P1∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+3y=0x=−3ty=tz=1+5toù
t∈R .
On remplace la valeur de
x,
y et
z dans le plan
P1(P1∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−3t+3t=0x=−3ty=tz=1+5téquivaut successivement à
Ainsi
(P1∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0=0x=−3ty=tz=1+5tOr l'équation
0=0 est une équation toujours vraie.
Cela signifie que le plan
P1 et la droite
(d) sont confondus.
Effectuons le même raisonnement pour savoir si la droite
(d) est confondue avec le plan
P2.
Cela revient à chercher les points d'intersections entre la droite et le plan.
(P2∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x−2y+z−1=0x=−3ty=tz=1+5toù
t∈R.
On remplace la valeur de
x,
y et
z dans le plan
P2(P2∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−3t−2t+1+5t−1=0x=−3ty=tz=1+5t équivaut successivement à
Ainsi
(P2∩d)⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0=0x=−3ty=tz=1+5tOr l'équation
0=0 est une équation toujours vraie.
Cela signifie que le plan
P2 et la droite
(d) sont confondus.
Les plans
P1 et
P2 sont sécants suivant la droite
(d):⎩⎨⎧xyz===−3tt1+5t où
t∈R