QCM Bilan Numéro 3

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} \cdot \left(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CG} \right)$ équivaut successivement à :
$\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CG}$ . Or $\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{AE}$.
Ainsi,
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AE}$ .
Or $\left(AB\right)$ est perpendiculaire à $\left(BC\right)$ mais aussi à $\left(AE\right)$. Ainsi : $\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AE}=0$
Il vient alors que :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} +0+0$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} =AB^{2}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Le triangle $ABS$ est équilatéral.
$\overrightarrow{SA} \cdot\overrightarrow{SB} =\left\| \overrightarrow{SA} \right\| \times \left\| \overrightarrow{SB} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{SA} ;\overrightarrow{SB} \right)$
$\overrightarrow{SA} \cdot\overrightarrow{SB} =a\times a\times \cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Soient $\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$ un vecteur normal du plan $P$ et $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {-3} \end{array}\right)$ un vecteur directeur de $\left(D\right)$ .
On vérifie aisément que les vecteurs $\overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {-3} \end{array}\right)$ ne sont pas colinéaires, donc le plan $P$ et la droite $\left(D\right)$ ne sont pas orthogonaux.
De plus $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} =2\times 1+1\times 1+1\times \left(-3\right)=0$.
Cela signifie que le plan $P$ et la droite $\left(D\right)$ sont parallèles.
Mais on remarque que dans les choix des réponses proposées, le plan $P$ et la droite $\left(D\right)$ sont confondues.
Vérifions alors cette éventualité.
On cherche à démontrer si le plan $P$ et la droite $\left(D\right)$ ont des points en communs.
Si tel est le cas alors le plan $P$ et la droite $\left(D\right)$ seraient confondues car on sait déjà qu'ils sont parallèles.
$\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+y-3z+9=0} \\ {x=2t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t} \end{array}\right.$où $t\in \mathbb{R}$ .
On remplace la valeur de $x$, $y$ et $z$ dans le plan $P$
$\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2t+1+t+1-3t+9=0} \\ {x=2t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t} \end{array}\right.$ équivaut successivement à
Ainsi $\left(P\cap D\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {11=0} \\ {x=2t+1} \\ {y=t+1} \\ {z=t} \end{array}\right.$
La première ligne $11=0$ est une équation impossible.
Cela signifie que le plan et la droite n'ont aucun point d'intersection, le plan et la droite sont donc strictement parallèles.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Il suffit de vérifier quels sont les points qui appartiennent à l'équation cartésienne donnée.
Le point $A$ appartient au plan car $-1+2-3\times 2+5=0$
Le point $B$ appartient au plan car $2+2\times \left(-2\right)-3+5=0$
Le point $D$ appartient au plan car $-3-2-3\times 0+5=0$
L'équation cartésienne est celle du plan $ABD$.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
On note $\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-4} \\ {2} \end{array}\right)$ respectivement les vecteurs directeurs des droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$.
On vérifie facilement que les vecteurs $\overrightarrow{u_{1} }$ et $\overrightarrow{u_{2} }$ ne sont pas colinéaires.
Il en résulte que les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas parallèles.
De plus, $\overrightarrow{u_{1} } \cdot\overrightarrow{u_{2} } =\left(-3\right)\times 5+2\times \left(-4\right)+\left(-1\right)\times 2\ne 0$.
Il en résulte que les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas orthogonales.
Il nous reste à voir si les droites sont sécantes.
Il faut résoudre le système constitué des deux écritures paramétriques des droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$, et déterminons les valeurs de $t$ et $s$.
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2-3t} & {=} & {1+5s} \\ {5+2t} & {=} & {-3-4s} \\ {4-t} & {=} & {7+2s} \end{array}\right.$ avec la troisième ligne on exprime $t$ en fonction de $s$.
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2-3t} & {=} & {1+5s} \\ {5+2t} & {=} & {-3-4s} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$ on remplace ensuite $t$ dans la 1^ère équation et dans la 2^ème pour déterminer la valeur de $s$.
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2-3\times \left(-2s-3\right)} & {=} & {1+5s} \\ {5+2\times \left(-2s-3\right)} & {=} & {-3-4s} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$ équivaut successivement à
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2+6s+9} & {=} & {1+5s} \\ {5-4s-6} & {=} & {-3-4s} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {6s+11} & {=} & {1+5s} \\ {-4s-1} & {=} & {-3-4s} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {6s-5s} & {=} & {1-11} \\ {-4s+4s} & {=} & {-3+1} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$
$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {s} & {=} & {-10} \\ {0} & {=} & {-2} \\ {t} & {=} & {-2s-3} \end{array}\right.$
Ici la 2^ème ligne $0=-2$ est une égalité fausse.
Les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont donc pas sécantes.
On peut conclure alors que les droites $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas coplanaires.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Ne vous méprenez pas $y=2x+1$ ressemble à l'écriture d'une droite mais ici nous sommes dans l'espace.
Ainsi $y=2x+1$ s'écrit $-2x+y-1=0$.
On peut aussi écrire $2x-y+1=0$ (on a multiplié le membre de gauche et celui de droite par $-1$)
On reconnaît donc l'écriture cartésienne d'un plan donc le vecteur normal est $\overrightarrow{n} \left(2;-1;0\right)$.
De plus le point $A\left(1;3;1\right)$ appartient au plan $2x-y+1=0$ car $2x_{A} -y_{A} +1=2\times 1-3+1=0$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Calculons maintenant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \\ {-6} \end{array}\right)$ , $\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \\ {-10} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {m+1} \\ {-8} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \\ {-6} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {-6} \\ {2} \\ {-10} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {m+1} \\ {-8} \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {-6a} & {-} & {4b} & {=} & {-4} \\ {2a} & {+} & {b\left(m+1\right)} & {=} & {1} \\ {-10a} & {-} & {8b} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
Nous allons résoudre dans un premier temps le système composée de la ligne $1$ et de la ligne $3$ afin de déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccc} {-6a} & {-} & {4b} & {=} & {-4} \\ {-10a} & {-} & {8b} & {=} & {-6} \end{array}\right. .$
On utilise la méthode par combinaison.
On multiplie la ligne $1$ par $\left(-2\right)$.
Il vient alors que :
$\left\{\begin{array}{ccccc} {12a} & {+} & {8b} & {=} & {8} \\ {-10a} & {-} & {8b} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
On additionne maintenant les deux lignes et on pourra ainsi déterminer la valeur de $a$.
$\left\{\begin{array}{ccccc} {12a} & {+} & {8b} & {=} & {8} \\ {2a} & {} & {} & {=} & {2} \end{array}\right.$ on obtient $a=1$ et on remplace dans la première ligne et on obtient : $12\times 1+8b=8$ donc $b=-\frac{1}{2}$.
On a montré que $a=1$ et $b=-\frac{1}{2}$.
On remplace ces valeurs dans $2a+b\left(m+1\right)=1$.
Il vient alors que :
$2\times 1-\frac{1}{2} \left(m+1\right)=1$
$2-\frac{1}{2} m-\frac{1}{2} =1$
$-\frac{1}{2} m=1-2+\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} m=-\frac{1}{2}$

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont donc coplanaires si $m=1$.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
$\purple{\text{Méthode 1 :}}$ Pour déterminer la droite d'intersection des deux plans $P_{1}$ et $P_{2}$, il nous faut résoudre le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccc} {x+3y} & {=} & {0} \\ {x-2y+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$
Nous allons introduire un paramètre $t$ tel que $y=t$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x+3y} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {t} \\ {x-2y+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x+3t} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {t} \\ {x-2t+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {x-2t+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {-3t-2t+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {-5t+z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
Ainsi : $\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {5t+1} \end{array}\right.$ avec $t\in \mathbb{R}$
$\purple{\text{Méthode 2 : Beaucoup plus longue ..}}$
Il va falloir tester les $4$ propositions.
Les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants suivant une droite : cela signifie que la droite est confondue avec le plan $P_{1}$ et confondue également avec le plan $P_{2}$.
Vérifions si la droite $\left(d\right)$ est confondue avec le plan $P_{1}$.
Cela revient à chercher les points d'intersections entre la droite et le plan.
$\left(P_{1} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x+3y=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$où $t\in \mathbb{R}$ .
On remplace la valeur de $x$, $y$ et $z$ dans le plan $P_{1}$
$\left(P_{1} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-3t+3t=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$équivaut successivement à
Ainsi $\left(P_{1} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$
Or l'équation $0=0$ est une équation toujours vraie.
Cela signifie que le plan $P_{1}$ et la droite $\left(d\right)$ sont confondus.
Effectuons le même raisonnement pour savoir si la droite $\left(d\right)$ est confondue avec le plan $P_{2}$.
Cela revient à chercher les points d'intersections entre la droite et le plan.
$\left(P_{2} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x-2y+z-1=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$où $t\in \mathbb{R}$.
On remplace la valeur de $x$, $y$ et $z$ dans le plan $P_{2}$
$\left(P_{2} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-3t-2t+1+5t-1=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$ équivaut successivement à
Ainsi $\left(P_{2} \cap d\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {0=0} \\ {x=-3t} \\ {y=t} \\ {z=1+5t} \end{array}\right.$
Or l'équation $0=0$ est une équation toujours vraie.
Cela signifie que le plan $P_{2}$ et la droite $\left(d\right)$ sont confondus.
Les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants suivant la droite $\left(d\right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {1+5t} \end{array}\right.$ où $t\in \mathbb{R}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
On calcule les trois côtés du triangle $ABC$.
$AB^{2} =\left(3-2\right)^{2} +\left(2-5\right)^{2} +\left(1+1\right)^{2} =14$
$AC^{2} =\left(1-2\right)^{2} +\left(3-5\right)^{2} +\left(-2+1\right)^{2} =6$
$BC^{2} =\left(1-3\right)^{2} +\left(3-2\right)^{2} +\left(-2-1\right)^{2} =14$
Le triangle $ABC$ est isocèle non rectangle.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Choisissons le repère $\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)$ .
En utilisant la figure, on a :
Pour le point $I$ :
$\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DH} +\overrightarrow{HI}$.
On exprime maintenant à l'aide des vecteurs du repère $\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)$.
Il vient alors :
$\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AE} +\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AI} =\red{\frac{1}{2}} \overrightarrow{AB} +\blue{1}\overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$.
Ainsi les coordonnées de $I$ sont $\left(\red{\frac{1}{2}};\blue{1};\purple{1}\right)$
Pour le point $J$ :
$\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} +\overrightarrow{FJ}$.
On exprime maintenant à l'aide des vecteurs du repère $\left(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AE} \right)$.
Il vient alors :
$\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AE} +\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AJ} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\blue{\frac{1}{2}} \overrightarrow{AD} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$.
Ainsi les coordonnées de $J$ sont $\left(\red{1};\blue{\frac{1}{2}} ;\purple{1}\right)$
Pour le point $M$ :
$M$ est le centre de la face $ABFE$.
Les coordonnées de $A$ sont $\left(0;0;0\right)$ car $A$ est l'origine du repère.
Les coordonnées de $F$ sont $\left(\red{1};0;\purple{1}\right)$ car $\overrightarrow{AF} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} =\red{1}\overrightarrow{AB} +\purple{1}\overrightarrow{AE}$.
Comme $M$ est le milieu de $\left[AF\right]$ alors $M\left(\frac{1}{2} ;0;\frac{1}{2} \right)$
Pour le point $N$ on effectue le même raisonnement qu'avec le point $M$.
On donne directement les coordonnées de $N$ qui sont $\left(1;\frac{1}{2} ;\frac{1}{2} \right)$.
On connait maintenant les coordonnées des points $I$, $J$, $M$ et $N$.
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$et $\overrightarrow{MN}$.
Il vient alors que :
$\overrightarrow{IJ} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{2} } \\ {-\frac{1}{2} } \\ {0} \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{MN} \left(\begin{array}{c} {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } \\ {0} \end{array}\right)$.
Or $\overrightarrow{IJ} \cdot\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =0$.
Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont orthogonaux donc les droites $\left(IJ\right)$ et $\left(MN\right)$ sont orthogonales.
On ne retient pas perpendiculaires car pour cela les deux droites devraient en plus dans le même plan ce qui n'est pas le cas.