Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

QCM Bilan Numéro 3

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
1

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête aa.
Le produit scalaire ABAG\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} est égale à :
a.\bf{a.} a2a^{2}                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} a2-a^{2}
c.\bf{c.} 2a2\sqrt{2} a^{2}                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 22a2\frac{\sqrt{2} }{2} a^{2}

Correction
2

ABCDSABCDS est une pyramide à base carré et à sommet SS dont toutes les arêtes ont la même mesure aa.
Le produit scalaire SASB\overrightarrow{SA} \cdot\overrightarrow{SB} est égale à :
a.\bf{a.} a2a^{2}                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} a2-a^{2}
c.\bf{c.} 12a2\frac{1}{2} a^{2}                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 22a2\frac{\sqrt{2} }{2} a^{2}

Correction
3

Soit (D)\left(D\right) la droite de représentation paramétrique {x=2t+1y=t+3z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {t+3} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. tRt \in \mathbb{R} et PP le plan d'équation cartésienne x+y3z+9=0x+y-3z+9=0.
Alors :
a.\bf{a.} (D)\left(D\right) et PP sont sécants                                                                                          \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (D)\left(D\right) et PP sont orthogonaux
c.\bf{c.} (D)\left(D\right) est strictement parallèle à PP                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (D)\left(D\right) est incluse dans PP

Correction
4

Soient A(1;1;2)A\left(-1;1;2\right), B(2;2;1)B\left(2;-2;1\right), C(8;0;1)C\left(8;0;-1\right) et D(3;1;0)D\left(-3;-1;0\right) quatre points de l'espace.
Alors x+2y3z+5=0x+2y-3z+5=0 est l'équation cartésienne du plan :
a.\bf{a.} CBDCBD                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ACDACD
c.\bf{c.} ABDABD                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ABCABC

Correction
5

On considère deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ayant pour représentations paramétriques :
(d1):{x=23ty=5+2tz=4t\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2-3t} \\ {y} & {=} & {5+2t} \\ {z} & {=} & {4-t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} et (d2):{x=1+5sy=34sz=7+2s\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+5s} \\ {y} & {=} & {-3-4s} \\ {z} & {=} & {7+2s} \end{array}\right. sRs\in \mathbb{R}
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont :
a.\bf{a.} Non coplanaires                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} Strictement parallèles
c.\bf{c.} Confondues                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Orthogonales

Correction
6

Dans l'espace rapporté à un repère (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right) , y=2x+1y=2x+1 est l'équation :
  • De la droite de vecteur directeur u(2;1;1)\overrightarrow{u}\left(2;-1;1\right) passant par le point A(0;1;1)A\left(0;1;1\right)
  • De la droite de vecteur directeur u(1;2;1)\overrightarrow{u}\left(1;2;1\right) passant par le point A(0;1;1)A\left(0;1;1\right)
  • Du plan de vecteur normal n(2;1;1)\overrightarrow{n} \left(2;-1;1\right) passant par le point A(1;3;1)A\left(1;3;1\right)
  • Du plan de vecteur normal n(2;1;0)\overrightarrow{n} \left(2;-1;0\right) passant par le point A(1;3;1)A\left(1;3;1\right)

Correction
7

Soit un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right).
Soient les points A(3;1;6)A\left(3;-1;6\right), B(1;0;0)B\left(-1;0;0\right), C(3;1;4)C\left(-3;1;-4\right) et D(1;m;2)D\left(-1;m;-2\right)mRm\in \mathbb{R}.
La valeur de mm pour que AA, BB, CC et DD soient coplanaires est :
a.\bf{a.}1-1                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 00
c.\bf{c.} 11                                                                      \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 22

Correction
8

On considère les plans respectifs P1:x+3y=0P_{1} :x+3y=0 et P2:x2y+z1=0P_{2} :x-2y+z-1=0.
Les plans P1P_{1} et P2P_{2} sont sécants suivant la droite :
a.\bf{a.} {x=3ty=tz=1+5t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {1+5t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} {x=3ty=tz=1+5t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {1+5t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}
c.\bf{c.} {x=3ty=tz=1+5t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {1+5t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} {x=3ty=tz=15t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-3t} \\ {y} & {=} & {t} \\ {z} & {=} & {-1-5t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R}

Correction
9

Soit un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right).
Soient les points A(2;5;1)A\left(2;5;-1\right), B(3;2;1)B\left(3;2;1\right) et C(1;3;2)C\left(1;3;-2\right) .
Le triangle ABCABC est :
a.\bf{a.} Rectangle et non isocèle                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} Isocèle et non rectangle
c.\bf{c.} Rectangle et isocèle                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Equilatéral

Correction
10

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGHABCDEFGH.
Les points II et JJ sont les milieux respectifs des arêtes [GH]\left[GH\right] et [FG]\left[FG\right].
Les points MM et NN sont les centres respectifs des faces ABFEABFE et BCGFBCGF.
Les droites (IJ)\left(IJ\right) et (MN)\left(MN\right) sont :
a.\bf{a.} Perpendiculaires                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} Sécantes, non perpendiculaires
c.\bf{c.} Orthogonales                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Parallèles

Correction
11

Soit le plan (P1)\left(P_{1} \right) d'équation paramétrique {x=1+2t3sy=2t+2sz=3+t53s\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} & {+} & {2t} & {-} & {3s} \\ {y} & {=} & {2} & {-} & {t} & {+} & {2s} \\ {z} & {=} & {3} & {+} & {t} & {-} & {\frac{5}{3} s} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} et sRs\in \mathbb{R}
Soit le plan (P2)\left(P_{2} \right) d'équation cartésienne xy3z1=0x-y-3z-1=0
Les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont :
a.\bf{a.} Strictement parallèles                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} Confondus
c.\bf{c.} Sécants                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Orthogonaux

Correction
12

Soit un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right).
On considère les points A(1;0;0)A\left(1;0;0\right), B(0;1;0)B\left(0;1;0\right) etC(0;0;1)C\left(0;0;1\right) et la droite (Δ)\left(\Delta \right) d'équation {x=2ty=62tz=2+t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2-t} \\ {y} & {=} & {6-2t} \\ {z} & {=} & {-2+t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} .
Le plan (ABC)\left(ABC\right) et la droite (Δ)\left(\Delta \right) se coupent au point :
a.\bf{a.} (12;1;12)\left(\frac{1}{2} ;1;\frac{1}{2} \right)                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (12;1;12)\left(-\frac{1}{2} ;1;-\frac{1}{2} \right)
c.\bf{c.} (12;1;12)\left(-\frac{1}{2} ;1;\frac{1}{2} \right)                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (12;1;12)\left(-\frac{1}{2} ;-1;-\frac{1}{2} \right)

Correction