Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

QCM Bilan Numéro 2 (Difficile)

Exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé (0;i;j;k)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right).
1

On considère le plan (P)\left(P\right) d'équation x2y+3=0x-2y+3=0 et la droite (D)\left(D\right) dont une représentation paramétrique est {x=2ty=34tz=2+6t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t} \\ {y} & {=} & {3-4t} \\ {z} & {=} & {-2+6t} \end{array}\right. tRt \in \mathbb{R} .
Proposition 1 :\blue{\text{Proposition 1 :}} « La droite (D)\left(D\right) et le plan (P)\left(P\right) sont orthogonaux ».

Correction
2

On donne les points B(2;4;0)B\left(2;4;0\right) et C(3;5;2)C\left(3;5;2\right).
Proposition 2 :\blue{\text{Proposition 2 :}} « Une représentation paramétrique de la droite (BC)\left(BC\right) est {x=1+ty=3+tz=2+2t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+t} \\ {y} & {=} & {3+t} \\ {z} & {=} & {-2+2t} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} ».

Correction
3

Soient les points A(2;1;1)A\left(2;1;-1\right), B(1;2;4)B\left(-1;2;4\right) , C(0;2;3)C\left(0;-2;3\right) et D(1;1;2)D\left(1;1;-2\right).
Proposition 3 :\blue{\text{Proposition 3 :}} « Ces 44 points sont coplanaires ».

Correction
4

Soient les points B(1;2;4)B\left(-1;2;4\right) et D(1;1;2)D\left(1;1;-2\right).
Proposition 4 :\blue{\text{Proposition 4 :}} « La droite (BD)\left(BD\right) est incluse dans le plan paramétrique PP d'équation {x=3+t+sy=1+2tsz=1+t+4s\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-3} & {+} & {t} & {+} & {s} \\ {y} & {=} & {1} & {+} & {2t} & {-} & {s} \\ {z} & {=} & {-1} & {+} & {t} & {+} & {4s} \end{array}\right. avec (t,s)R2\left(t,s\right)\in \mathbb{R}^{2} ».

Correction
5

Soient les points B(1,2,4)B\left(-1,2,4\right) et D(1,1,2)D\left(1,1,-2\right).
Proposition 5 :\blue{\text{Proposition 5 :}} « La droite (BD)\left(BD\right) est-elle orthogonale au plan PP paramétrique d'équation {x=3+t+4sy=14t4sz=1+t+2s\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {-3} & {+} & {t} & {+} & {4s} \\ {y} & {=} & {1} & {-} & {4t} & {-} & {4s} \\ {z} & {=} & {-1} & {+} & {t} & {+} & {2s} \end{array}\right. avec (t,s)R2\left(t,s\right)\in \mathbb{R}^{2} ».

Correction
6

Soient les points B(5,1,2)B\left(5,-1,2\right), C(3,0,1)C\left(3,0,-1\right) et D(1,1,0)D\left(1,1,0\right).
Proposition 6 :\blue{\text{Proposition 6 :}} « Les points BB, CC et DD définissent un plan ».

Correction
7

Soient les points B(1,3,2)B\left(1,3,2\right), C(5,7,1)C\left(5,7,-1\right) et D(1,1,9)D\left(-1,1,9\right).
On admet que les points BB, CC et DD définissent un plan.
Proposition 7 :\blue{\text{Proposition 7 :}} « Une équation cartésienne du plan (BCD)\left(BCD\right) est xy+2=0x-y+2=0 » .

Correction
8

On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes :
(d1):{x=2t+3y=t1z=t+2\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+3} \\ {y} & {=} & {t-1} \\ {z} & {=} & {-t+2} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} et (d2):{x=s+2y=2s+6z=s+4\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {s+2} \\ {y} & {=} & {-2s+6} \\ {z} & {=} & {-s+4} \end{array}\right. sRs\in \mathbb{R}
Proposition 8 :\blue{\text{Proposition 8 :}} « Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont coplanaires ».

Correction
9

Soient (P1)\left(P_{1} \right) le plan d'équation x+2yz=1x+2y-z=1 et (P2)\left(P_{2} \right) le plan d'équation 2x+3y2z3=0-2x+3y-2z-3=0.
Proposition 9 :\blue{\text{Proposition 9 :}} « (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont parallèles ».

Correction
10

Soient (P1)\left(P_{1} \right) le plan d'équation : x+2yz=1x+2y-z=1 et (P2)\left(P_{2} \right) le plan d'équation 2x+3y2z3=0-2x+3y-2z-3=0.
Proposition 10 :\blue{\text{Proposition 10 :}} « (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont orthogonaux » .

Correction
11

Soient (P1)\left(P_{1} \right) le plan sous forme paramétrique {x=1+t+2ty=2+2t4tz=32t+2t\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {1} & {+} & {t} & {+} & {2t'} \\ {y} & {=} & {2} & {+} & {2t} & {-} & {4t'} \\ {z} & {=} & {3} & {-} & {2t} & {+} & {2t'} \end{array}\right. avec (t,t)R2\left(t,t'\right)\in R^{2} et (P2)\left(P_{2} \right) le plan d'équation 2x+3y2z3=0-2x+3y-2z-3=0.
Proposition 11 :\blue{\text{Proposition 11 :}} « (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont parallèles ».

Correction
12

Soit la droite (d1)\left(d_{1} \right) dont une représentation paramétrique est : {x=2t1y=t+1z=t+2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t-1} \\ {y} & {=} & {t+1} \\ {z} & {=} & {t+2} \end{array}\right. tRt\in R
et on considère le plan PP d'équation : x+3y4z+8=0x+3y-4z+8=0.
Proposition 12 :\blue{\text{Proposition 12 :}} « La droite (d1)\left(d_{1} \right) coupe le plan PP au point MM de coordonnées (5;1;0)\left(-5;-1;0\right) ».

Correction
13

On donne les points A(2;1,1)A\left(2;1,1\right) , B(2;0;1)B\left(2;0;1\right) et C(1;1;1)C\left(1;1;1\right) . On considère le plan PP d'équation 2x4z+8=02x-4z+8=0.
Proposition 13 :\blue{\text{Proposition 13 :}} « Les plans PP et (ABC)\left(ABC\right) sont parallèles » .

Correction
14

On considère le plan (P)\left(P\right) d'équation 2x+5y+z5=02x +5y +z - 5 = 0.
Proposition 14 :\blue{\text{Proposition 14 :}} Tous les points dont les coordonnées (x;y;z)\left(x ; y ; z\right) sont données par la représentation paramétrique {x=1+t2ty=12t+tz=14t+2t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+t-2t'} \\ {y} & {=} & {1-2t+t'} \\ {z} & {=} & {1-4t+2t'} \end{array}\right. tRt \in \mathbb{R} et tRt' \in \mathbb{R} appartiennent au plan (P)\left(P\right).

Correction
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