Plan, produit scalaire, orthogonalité et distance dans l'espace

QCM

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Justifier la réponse choisie.
1

n(2;1;3)\overrightarrow{n} \left(-2;1;3\right) est un vecteur normal au plan d'équation cartésienne :
a.\bf{a.} 2x+y+3=0-2x+y+3=0                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 2xy3z+1=02x-y-3z+1=0

c.\bf{c.} 2xy3z+2=0-2x-y-3z+2=0                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 2xy3z+2=02x-y-3z+2=0

Correction
2

Si u(2;1;3)\overrightarrow{u} \left(-2;1;3\right) et v(4;0;1)\overrightarrow{v} \left(4;0;-1\right) alors uv=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=
a.\bf{a.} 1111                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 11-11

c.\bf{c.} 1010                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 10-10

Correction
3

Le plan d'équation cartésienne 3x5y+2z9=03x-5y+2z-9=0 passe par le point de coordonnées :
a.\bf{a.} (2;1;4)\left(2;-1;4\right)                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (2;1;4)\left(2;1;-4\right)

c.\bf{c.} (2;1;4)\left(2;1;4\right)                                                                                                  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (2;1;4)\left(-2;1;4\right)

Correction
4

Une équation cartésienne du plan (P)\left(P\right) passant par le point A(0;2;5)A\left(0;-2;5\right) et de vecteur normal n(0;2;1)\overrightarrow{n} \left(0;2;1\right) s'écrit :
a.\bf{a.} 2yz+1=0-2y-z+1=0                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 2yz1=02y-z-1=0

c.\bf{c.} 2y+z+1=02y+z+1=0                                                                                                  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 2y+z+1=0-2y+z+1=0

Correction
5

La distance du point A(5;1;1)A\left(5 ;1 ;-1 \right) au plan PP d'équation cartésienne 4x+2y+3z7=0-4x+2y+3z-7=0 est égale à :
a.\bf{a.} 292928\frac{29\sqrt{29} }{28}                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 282928\frac{28\sqrt{29} }{28}

c.\bf{c.} 282929\frac{28\sqrt{29} }{29}                                                                                              \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 292829\frac{29\sqrt{28} }{29}

Correction
6

On considère les points A(0;2;1)A\left(0;2;1\right), B(2;2;1)B\left(2;2;-1\right) et C(4;2;0)C\left(4;2;0\right). On admet qu'il existe un unique point GG de l'espace vérifiant GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} =0. Les coordonnées de GG sont alors :
a.\bf{a.} (2;2;0)\left(2;-2;0\right)                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (2;2;0)\left(-2;2;0\right)

c.\bf{c.} (2;2;0)\left(2;2;0\right)                                                                                              \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (2;0;2)\left(2;0;2\right)

Correction
7

Le plan x3y+3z3=0x-\sqrt{3} y+\sqrt{3} z-\sqrt{3} =0 admet pour vecteur normal :
a.\bf{a.} (1;3;3)\left(1;-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (1;3;3)\left(-1;\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)

c.\bf{c.} (1;3;3)\left(1;\sqrt{3};\sqrt{3}\right)                                                                                              \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (3;3;3)\left(-\sqrt{3};3;-3\right)

Correction
8

Soit le plan PP dirigé par les vecteurs directeurs u1(4612)\overrightarrow{u_1} \left(\begin{array}{c} {-4 } \\ {6 } \\ {12 } \end{array}\right) et u2(2010)\overrightarrow{u_2} \left(\begin{array}{c} {-2 } \\ {0 } \\ {-10 } \end{array}\right). Un vecteur normal au plan PP est :
a.\bf{a.} n(0;0;0)\overrightarrow{n} \left(0;0;0\right)                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} n(15;16;3)\overrightarrow{n} \left(-15;-16;\sqrt{3}\right)

c.\bf{c.} n(15;16;3)\overrightarrow{n} \left(-15;-16;3\right)                                                                      \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n(15;16;3)\overrightarrow{n} \left(-15;16;-3\right)

Correction
9

Soit mm un réel. Pour quelle valeur de mm le point I(1;72;m)I\left(1;-\frac{7}{2};m\right) appartient-il à la droite (d)\left(d\right) dont une représentation paramétrique est : {x=32t5y=t+12z=43t+2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{3}{2}t-5} \\ {y} & {=} & {-t+\frac{1}{2}} \\ {z} & {=} & {\frac{4}{3}t+2} \end{array}\right. tRt\in \mathbb{R} ?
a.\bf{a.} m=213m=\frac{21}{3}                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} m=223m=-\frac{22}{3}

c.\bf{c.} m=213m=-\frac{21}{3}                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} m=223m=\frac{22}{3}

Correction
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