QCM Bilan

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$Soit $x\in \left]-\infty;+\infty \right[$
La fonction $f$ est de la forme $\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{4}+x^{2}}}$ et ${\color{brown}{n=5}}$
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=12x^{3}+2x}}$ .
$f\left(x\right)=\frac{6x^{3}+x}{\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{5}}$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}}\times\frac{{\color{blue}{12x^{3}+2x}}}{\left({\color{red}{3x^{4}+x^{2}}}\right)^{{\color{brown}{5}}}}$
$f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$ avec ${\color{brown}{n=5}}$ et ${\color{purple}{k=\frac{1}{2}}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}}$ est de la forme $\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\left]-\infty;+\infty \right[$ est :
$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }$
$F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{\frac{1}{2}}}}{\left({\color{brown}{5}}-1\right)\left(\color{red}{3x^{4}+x^{2}}\right)^{{\color{brown}{5}-1}} }$
$F\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{2}}{4\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{4} }$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$Soit $x\in \mathbb{R}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=\sin\left(x\right)+4x}}$ et ${\color{brown}{n=3}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=\cos\left(x\right)+4}}$ .
$f\left(x\right)=\left(2\cos\left(x\right)+8\right)\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{3}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\color{purple}{2}\times\left({\color{blue}{\cos\left(x\right)+4}}\right)\left({\color{red}{\sin\left(x\right)+4x}}\right)^{\color{brown}{3}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{purple}{k=2}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{2}}}{{\color{brown}{3}}+1} \left({\color{red}{\sin\left(x\right)+4x}}\right)^{{\color{brown}{3}}+1}$
$F\left(x\right)= \frac{2}{4}\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{4}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
$f\left(x\right)=\frac{5x^{2}-4x+3}{x}$ équivaut successivement à :
$f\left(x\right)=\frac{5x^{2} }{x} -\frac{4x}{x} +\frac{3}{x}$
$f\left(x\right)=5x-4+\frac{3}{x}$
Ainsi :
$F\left(x\right)=\frac{5}{2} x^{2} -4x+3\ln \left(x\right)+k$ avec $k \in \mathbb{R}$
Or $F\left(1\right)=\frac{7}{2}$
D'où :
$\frac{5}{2} \times 1^{2} -4\times 1+3\ln \left(1\right)+k=\frac{7}{2}$
$\frac{5}{2} -4+k=\frac{7}{2}$
$k=\frac{7}{2} -\frac{5}{2} +4$
Enfin :
La primitive sur $\left]0;+\infty\right[$ valant $\frac{7}{2}$ lorsque $x=1$ de la fonction $f\left(x\right)=\frac{5x^{2}-4x+3}{x}$ est alors $F\left(x\right)=\frac{5}{2} x^{2} -4x+3\ln \left(x\right)+5$ .

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{c}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ . Nous allons partir de l'expression $f\left(x\right)=ae^{4x} +b+\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$ et mettre tout au même dénominateur.
$f\left(x\right)=ae^{4x} +b+\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$ équivaut successivement à :
$f\left(x\right)=\frac{ae^{4x} +b}{1} +\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=\frac{\left(ae^{4x} +b\right)\times \left(e^{-x} +2\right)}{e^{-x} +2} +\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=\frac{ae^{4x} \times e^{-x} +ae^{4x} \times 2+b\times e^{-x} +b\times 2}{e^{-x} +2} +\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=\frac{ae^{4x-x} +2ae^{4x} +be^{-x} +2b}{e^{-x} +2} +\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=\frac{ae^{3x} +2ae^{4x} +be^{-x} +2b+ce^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=\frac{2ae^{4x} +ae^{3x} +\left(b+c\right)e^{-x} +2b}{e^{-x} +2}$
Nous voulons que $f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2a}}e^{4x} +{\color{red}{a}}e^{3x} +\left({\color{purple}{b+c}}\right)e^{-x} +\pink{2b}}{e^{-x} +2}$ soit égale à $f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{6}}e^{4x} +{\color{red}{3}}e^{3x} +{\color{purple}{11}}e^{-x} +\pink{14}}{e^{-x} +2}$ .
Par identification, on obtient le système suivant :
$\left\{\begin{array}{ccc} {2a} & {=} & {6} \\ {a} & {=} & {3} \\ {b+c} & {=} & {11} \\ {2b} & {=} & {14} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{6}{2} } \\ {a} & {=} & {3} \\ {b+c} & {=} & {11} \\ {b} & {=} & {\frac{14}{2} } \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {3} \\ {b+c} & {=} & {11} \\ {b} & {=} & {7} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {3} \\ {7+c} & {=} & {11} \\ {b} & {=} & {7} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {3} \\ {c} & {=} & {11-7} \\ {b} & {=} & {7} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {3} \\ {c} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {7} \end{array}\right.$
On a alors :
Il va nous falloir déterminer maintenant une primitive de $f$. Pour cela, on va introduire la fonction $g$ continue sur $\mathbb{R}$ définie par : $g\left(x\right)=\frac{4e^{-x} }{e^{-x} +2}$
La fonction $g$ est de la forme ${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=e^{-x} +2}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=-e^{-x} }}$ .
$g\left(x\right)=\frac{4e^{-x} }{e^{-x} +2}$ s'écrit alors
$g\left(x\right)={\color{purple}{-4}}\times\frac{{\color{blue}{-e^{-x}}}}{{\color{red}{e^{-x}+2}}}$
$g\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$ . La valeur de ${\color{purple}{k}}$ ici est ${\color{purple}{\frac{2}{3}}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}}$ est de la forme ${\color{purple}{k}}\times\ln\left({\color{red}{u}}\right)$
Il en résulte donc qu'une primitive de $g$ sur $\left]-\infty;+\infty\right[$ est :
$G\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\ln \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)$
Ainsi :
Nous allons enfin pourvoir calculer une primitive de $f$.
On a :
$f\left(x\right)=3e^{4x} +7+\frac{4e^{-x} }{e^{-x} +2}$
$f\left(x\right)=3e^{4x} +7+g\left(x\right)$
$F\left(x\right)=\frac{3}{4}e^{4x} +7x+G\left(x\right)$
Soit :