Les Primitives

QCM Bilan

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, vous devez bien sur justifier.
1

Une primitive de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6x3+x(3x4+x2)5f\left(x\right)=\frac{6x^{3}+x}{\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{5}} est :
a.\bf{a.} F(x)=18(3x4+x2)4F\left(x\right)=\frac{1}{8\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{4} }                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} F(x)=18(3x4+x2)4F\left(x\right)=\frac{-1}{8\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{4} }

c.\bf{c.} F(x)=14(3x4+x2)4F\left(x\right)=\frac{1}{4\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{4} }                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} F(x)=14(3x4+x2)4F\left(x\right)=\frac{-1}{4\left(3x^{4}+x^{2}\right)^{4} }

Correction
2

Une primitive de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=(2cos(x)+8)(sin(x)+4x)3f\left(x\right)=\left(2\cos\left(x\right)+8\right)\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{3} est :
a.\bf{a.} F(x)=(sin(x)+4x)4F\left(x\right)= \left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{4}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} F(x)=12(sin(x)+4x)4F\left(x\right)=- \frac{1}{2}\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{4}

c.\bf{c.} F(x)=2(sin(x)+4x)4F\left(x\right)= 2\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{4}                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} F(x)=12(sin(x)+4x)4F\left(x\right)= \frac{1}{2}\left(\sin\left(x\right)+4x\right)^{4}

Correction
3

La primitive sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ valant 72\frac{7}{2} lorsque x=1x=1 de la fonction f(x)=5x24x+3xf\left(x\right)=\frac{5x^{2}-4x+3}{x} est :
a.\bf{a.} F(x)=53x32x2+3xx2+56F\left(x\right)=\frac{\frac{5}{3} x^{3} -2x^{2} +3x}{x^{2} } +\frac{5}{6}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} F(x)=53x32x2+3xx2F\left(x\right)=\frac{\frac{5}{3} x^{3} -2x^{2} +3x}{x^{2} }

c.\bf{c.} F(x)=52x24x+3ln(x)5F\left(x\right)=\frac{5}{2} x^{2} -4x+3\ln \left(x\right)-5                                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} F(x)=52x24x+3ln(x)+5F\left(x\right)=\frac{5}{2} x^{2} -4x+3\ln \left(x\right)+5

Correction
4

Soient aa, bb et cc trois réels. Soit ff une fonction continue sur R\mathbb{R} définie par : f(x)=6e4x+3e3x+11ex+14ex+2f\left(x\right)=\frac{6e^{4x} +3e^{3x} +11e^{-x} +14}{e^{-x} +2}. On admet que ff peut également s'écrire f(x)=ae4x+b+cexex+2f\left(x\right)=ae^{4x} +b+\frac{ce^{-x} }{e^{-x} +2} . Après avoir déterminer les valeurs de aa, bb et cc, on peut affirmer qu'une primitive de ff est :
a.\bf{a.} F(x)=34e4x+7x+4ln(ex+2)F\left(x\right)=\frac{3}{4}e^{4x} +7x+4\ln \left(e^{-x}+2\right)                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} F(x)=34e4x7x4ln(ex+2)F\left(x\right)=\frac{3}{4}e^{4x} -7x-4\ln \left(e^{-x}+2\right)

c.\bf{c.} F(x)=34e4x+7x4ln(ex+2)F\left(x\right)=\frac{3}{4}e^{4x} +7x-4\ln \left(e^{-x}+2\right)                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} F(x)=34e4x+7x4ln(ex+2)F\left(x\right)=-\frac{3}{4}e^{4x} +7x-4\ln \left(e^{-x}+2\right)

Correction
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