La bonne reˊponse est cSoit
x∈R . Nous allons partir de l'expression
f(x)=ae4x+b+e−x+2ce−x et mettre tout au même dénominateur.
f(x)=ae4x+b+e−x+2ce−x équivaut successivement à :
f(x)=1ae4x+b+e−x+2ce−x f(x)=e−x+2(ae4x+b)×(e−x+2)+e−x+2ce−x f(x)=e−x+2ae4x×e−x+ae4x×2+b×e−x+b×2+e−x+2ce−x f(x)=e−x+2ae4x−x+2ae4x+be−x+2b+e−x+2ce−x f(x)=e−x+2ae3x+2ae4x+be−x+2b+ce−x f(x)=e−x+22ae4x+ae3x+(b+c)e−x+2b Nous voulons que
f(x)=e−x+22ae4x+ae3x+(b+c)e−x+2b soit égale à
f(x)=e−x+26e4x+3e3x+11e−x+14 .
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients respectifs sont égaux.Par identification, on obtient le système suivant :
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2aab+c2b====631114 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧aab+cb====26311214 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧aab+cb====33117 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧aa7+cb====33117 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧aacb====3311−77 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧aacb====3347 On a alors :
f(x)=3e4x+7+e−x+24e−x Il va nous falloir déterminer maintenant une primitive de
f. Pour cela, on va introduire la fonction
g continue sur
R définie par :
g(x)=e−x+24e−xSoit
k un réel non nul.
Une primitive de k×uu′ est de la forme k×ln(u) La fonction
g est de la forme
k×uu′ avec
u(x)=e−x+2.
De plus,
u′(x)=−e−x .
g(x)=e−x+24e−x s'écrit alors
g(x)=−4×e−x+2−e−xg(x)=k×uu′ . La valeur de
k ici est
32Or une primitive de
k×uu′ est de la forme
k×ln(u)Il en résulte donc qu'une primitive de
g sur
]−∞;+∞[ est :
G(x)=k×ln(u(x)) Ainsi :
G(x)=−4ln(e−x+2) Nous allons enfin pourvoir calculer une primitive de
f.
On a :
f(x)=3e4x+7+e−x+24e−xf(x)=3e4x+7+g(x)F(x)=43e4x+7x+G(x)Soit :
F(x)=43e4x+7x−4ln(e−x+2)