La primitive est donnée... Montrer que c'est la bonne !

On a : $F\left(x\right)=\frac{x+3}{x-1}$
On reconnaît la forme : $\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=x+3$ et $v\left(x\right)=x-1$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ et $v'\left(x\right)=1$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=\frac{1\times \left(x-1\right)-1\times \left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^{2} }$
$F'\left(x\right)=\frac{x-1-\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^{2} }$
$F'\left(x\right)=\frac{x-1-x-3}{\left(x-1\right)^{2} }$
$F'\left(x\right)=\frac{-4}{\left(x-1\right)^{2} }$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[2;6\right]$.

On a : $G\left(x\right)=\frac{2x^{2} }{2x^{2} +x-1 }$
On reconnaît la forme : $\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=2x^{2}$ et $v\left(x\right)=2x^{2}+x-1$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=4x$ et $v'\left(x\right)=4x+1$.
Il vient alors que :
$G'\left(x\right)=\frac{4x\times \left(2x^{2} +x-1\right)-2x^{2}\times \left(4x+1\right)}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }$
$G'\left(x\right)=\frac{8x^{3}+4x^{2}-4x-\left(8x^{3}+2x^{2}\right)}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }$
$G'\left(x\right)=\frac{8x^{3}+4x^{2}-4x-8x^{3}-2x^{2}}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }$
$G'\left(x\right)=\frac{2x^{2}-4x}{\left(2x^{2} +x-1\right)^{2} }$
Ainsi :
On a bien montré que $G$ est une primitive de $f$ sur $\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[$.

Soit : $F\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{-3x+1}$
On reconnaît la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=2x-4$ et $v\left(x\right)=e^{-3x+1}$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=2$ et $v'\left(x\right)=-3e^{-3x+1}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} +\left(2x-4\right)\times \left(-3e^{-3x+1} \right)$
$F'\left(x\right)=2e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1} +12e^{-3x+1}$
$F'\left(x\right)=14e^{-3x+1} -6xe^{-3x+1}$ . On factorise par $e^{-3x+1}$
$F'\left(x\right)=\left(-6x+14\right)e^{-3x+1}$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[1;7\right]$.

Soit : $F\left(x\right)=xe^{x}$
On reconnait la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=e^{x}$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ et $v'\left(x\right)=e^{x}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}$
On factorise par $e^{x}$.
$F'\left(x\right)=\left(1+x\right)e^{x}$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;5\right]$.

Soit : $F\left(x\right)=4x^{2} \ln \left(x\right)$
On reconnaît la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=4x^{2}$ et $v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=8x$ et $v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=8x\times \ln \left(x\right)+4x^{2} \times \frac{1}{x}$
$F'\left(x\right)=8x\times \ln \left(x\right)+4x$ .
On factorise par $4x$.
$F'\left(x\right)=4x\left(2\ln \left(x\right)+1\right)$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[1;3\right]$.

Soit : $F\left(x\right)=\left(ax^{2} +bx+c\right)e^{-x}$
On reconnaît la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$ et $v\left(x\right)=e^{-x}$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=2ax+b$ et $v'\left(x\right)=-e^{-x}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)e^{-x} +\left(ax^{2} +bx+c\right)\times \left(-e^{-x} \right)$
$F'\left(x\right)=2axe^{-x} +be^{-x} -ax^{2} e^{-x} -bxe^{-x} -ce^{-x}$
$F'\left(x\right)=\left(2ax+b-ax^{2} -bx-c\right)e^{-x}$
$F'\left(x\right)=\left(-ax^{2} +\left(2a-b\right)x+b-c\right)e^{-x}$
Or, il nous faut que $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$, ce qui nous donne ici :

Par identification, on obtient :
$\left\{\begin{array}{ccc} {-a} & {=} & {1} \\ {2a-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$ équivaut successivement à :
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {2\times\left(-1\right)-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-2-b} & {=} & {0} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {-b} & {=} & {2} \\ {b-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {-2-c} & {=} & {-6} \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {-2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$
Finalement : $F\left(x\right)=\left(-x^{2} -2x+4\right)e^{-x}$ est alors une primitive de $f$.

Soit : $F\left(x\right)=\left(ax+b\right)\ln \left(x\right)$
On reconnaît la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=ax+b$ et $v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=a$ et $v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=a\times \ln \left(x\right)+\left(ax+b\right)\times \frac{1}{x}$
$F'\left(x\right)=a\times \ln \left(x\right)+ax\times \frac{1}{x} +b\times \frac{1}{x}$
$F'\left(x\right)=a\ln \left(x\right)+a+\frac{b}{x}$
Or, il nous faut que $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$, ce qui nous donne ici :

Par identification, on obtient : ${\color{blue}a}={\color{blue}3}$ et ${\color{red}b}={\color{red}1}$.
Finalement : $F\left(x\right)=\left(3x+1\right)\ln \left(x\right)$ est alors une primitive de $f$.

Ici on reconnaît la forme : $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=2x-3$ et $v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=2$ et $v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\left(2x-3\right)\times \frac{1}{x}$
$F'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} -3\times \frac{1}{x}$
$F'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} -\frac{3}{x}$
$F'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2-\frac{3}{x}$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[1;10\right]$.

Ici on reconnaît la forme : $\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$ avec $u\left(x\right)=3x^{2}$ ; $v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ et $w\left(x\right)=-x^{2}$.
Ainsi : $u'\left(x\right)=6x$ ; $v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$ et $w'\left(x\right)=-2x$.
Il vient alors que :
$F'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+3x^{2} \times \frac{1}{x} -2x$
$F'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+\frac{3x^{2} }{x} -2x$
$F'\left(x\right)=6x\ln \left(x\right)+3x-2x$
$F'\left(x\right)=6{\color{blue}x}\ln \left(x\right)+{\color{blue}x}$ . On factorise par ${\color{blue}x}$ .
$F'\left(x\right)=x\left(6\ln \left(x\right)+1\right)$
Ainsi :
On a bien montré que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[2;8\right]$.