Dans le cas où une primitive
F est donnée, il vous suffit de dériver
F et d'obtenir comme résultat
f.
Autrement dit, il faut que
F′(x)=f(x)Soit :
F(x)=(ax2+bx+c)e−xOn reconnaît la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=ax2+bx+c et
v(x)=e−x.
Ainsi :
u′(x)=2ax+b et
v′(x)=−e−x.
Il vient alors que :
F′(x)=(2ax+b)e−x+(ax2+bx+c)×(−e−x)F′(x)=2axe−x+be−x−ax2e−x−bxe−x−ce−xF′(x)=(2ax+b−ax2−bx−c)e−xF′(x)=(−ax2+(2a−b)x+b−c)e−xOr, il nous faut que
F′(x)=f(x), ce qui nous donne ici :
(−ax2+(2a−b)x+b−c)e−x=(x2−6)e−x Par identification, on obtient :
⎩⎨⎧−a2a−bb−c===10−6 équivaut successivement à :
⎩⎨⎧a2×(−1)−bb−c===−10−6⎩⎨⎧a−2−bb−c===−10−6⎩⎨⎧a−bb−c===−12−6⎩⎨⎧ab−2−c===−1−2−6⎩⎨⎧abc===−1−24Finalement :
F(x)=(−x2−2x+4)e−x est alors une primitive de
f.