Les équations différentielles

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Exercice 1

On considère l'équation différentielle (E)\left(E\right) : 2y=8y+8x220x+422y'=-8y+8x^{2} -20x+42
1

Vérifier que la fonction h(x)=x23x+6h\left(x\right)=x^{2} -3x+6 est une solution de l’équation (E)\left(E\right) .

Correction
2

Montrer que ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si fhf-h est une solution de 2y=8y2y'=-8y .

Correction
3

En déduire les solutions de (E)\left(E\right) .

Correction

Exercice 2

On considère l'équation différentielle (E)\left(E\right) : y=y+(x+1)e2xy'=y+\left(x+1\right)e^{2x}
1

Déterminer les réels aa et bb tels que la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=(ax+b)e2xh\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{2x} soit une solution de l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
2

Montrer que ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si fhf-h est une solution de y=yy'=y .

Correction
3

En déduire les solutions de (E)\left(E\right) .

Correction
4

Déterminer la solution gg de l'équation (E)\left(E\right) vérifiant la contrainte g(0)=7g\left(0\right)=7 .

Correction

Exercice 3

On considère l'équation différentielle (E)\left(E\right) : y=9y+25cos(x)21sin(x)y'=-9y+25\cos \left(x\right)-21\sin \left(x\right) .
1

Déterminer les réels aa et bb tels que la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=acos(x)+bsin(x)h\left(x\right)=a\cos \left(x\right)+b\sin \left(x\right) soit une solution de l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
2

Montrer que ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si fhf-h est une solution de y=9yy'=-9y .

Correction
3

En déduire les solutions de (E)\left(E\right) .

Correction
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