Fonction logarithme népérien

QCM Bilan Numéro 3

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, vous devez bien sur justifier.
1

L'équation 2x2ln(5)=3x3ln(7)2x^{2} \ln \left(5\right)=3x^{3} \ln \left(7\right) admet comme solution :
a.\bf{a.} {2ln(5)3ln(7)}\left\{-\frac{2\ln \left(5\right)}{3\ln \left(7\right)} \right\}                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} {2ln(5)3ln(7);0}\left\{\frac{2\ln \left(5\right)}{3\ln \left(7\right)} ;0\right\}

c.\bf{c.} {2ln(5)3ln(7)}\left\{\frac{2\ln \left(5\right)}{3\ln \left(7\right)} \right\}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} {0}\left\{0\right\}

Correction
2

Soit la fonction ff définie et dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=ln(2x+1x)1xf\left(x\right)=\ln \left(\frac{2x+1}{x} \right)-\frac{1}{x} .
La dérivée de la fonction ff est alors :
a.\bf{a.} f(x)=xx2(2x+1)f'\left(x\right)=\frac{x}{x^{2} \left(2x+1\right)}                                                                                       \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=x1x2(2x+1)f'\left(x\right)=\frac{x-1}{x^{2} \left(2x+1\right)}
c.\bf{c.} f(x)=xx2(2x+1)f'\left(x\right)=\frac{-x}{x^{2} \left(2x+1\right)}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=x+1x2(2x+1)f'\left(x\right)=\frac{x+1}{x^{2} \left(2x+1\right)}

Correction
3

S=ln(12)+ln(23)+ln(34)+ln(45)+ln(56)+ln(67)S=\ln \left(\frac{1}{2} \right)+\ln \left(\frac{2}{3} \right)+\ln \left(\frac{3}{4} \right)+\ln \left(\frac{4}{5} \right)+\ln \left(\frac{5}{6} \right)+\ln \left(\frac{6}{7} \right) . La forme simplifiée de SS est alors :
a.\bf{a.} ln(7)\ln \left(7\right)                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ln(7)-\ln \left(7\right)
c.\bf{c.} 11                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ln(617140)-\ln \left(\frac{617}{140}\right)

Correction
4

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=2xln(x)f\left(x\right)=2x\ln \left(x\right). La courbe représentative C\mathscr{C} de la fonction ff admet :
a.\bf{a.} 11 point d'inflexion                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 22 points d'inflexion
c.\bf{c.} 33 points d'inflexion                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} Aucun point d'inflexion

Correction
5

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=ln(3x3+4)f\left(x\right)=\ln \left(3x^{3}+4\right). L'expression de ff est égale à :
a.\bf{a.} 2ln(x)+ln(3x+4x)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3x+\frac{4}{x} \right)                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 2ln(x)+ln(3x+4x2)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3x+\frac{4}{x^{2} } \right)
c.\bf{c.} 2ln(x)+ln(3x2+4x2)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3x^{2}+\frac{4}{x^{2} } \right)                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 2ln(x)+ln(3+4x2)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3+\frac{4}{x^{2} } \right)

Correction
6

Soit nn un entier naturel non nul. L'inégalité 122×0,9n>11,512-2\times 0,9^{n} >11,5 est vraie dès que :
a.\bf{a.} n<ln(4)ln(910)n<\frac{-\ln \left(4\right)}{\ln \left(\frac{9}{10} \right)}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} n>ln(4)ln(910)n>\frac{\ln \left(4\right)}{\ln \left(\frac{9}{10} \right)}

c.\bf{c.} n>ln(4)ln(910)n>\frac{-\ln \left(4\right)}{\ln \left(\frac{9}{10} \right)}                                                                                                  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} n>ln(4)ln(109)n>\frac{-\ln \left(4\right)}{\ln \left(\frac{10}{9} \right)}

Correction
7

Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{-x} alors f(ln(3))=f\left(\ln \left(3\right)\right)=
a.\bf{a.} ln(3)\ln \left(3\right)                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} ln(3)3\frac{\ln \left(3\right)}{3}
c.\bf{c.} 3ln(3)3\ln \left(3\right)                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 3ln(3)-3\ln \left(3\right)

Correction
8

Soit ff la fonction définie sur ];6[\left]-\infty;6\right[ par f(x)=4x+ln(2x3)f\left(x\right)=4x+\ln \left(2-\frac{x}{3} \right) alors la dérivée de ff est égale à :
a.\bf{a.} f(x)=4x23x6f'\left(x\right)=\frac{4x-23}{x-6}                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=4x+23x6f'\left(x\right)=\frac{4x+23}{x-6}
c.\bf{c.} f(x)=4x23x6f'\left(x\right)=\frac{-4x-23}{x-6}                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=4x+23x6f'\left(x\right)=\frac{-4x+23}{x-6}

Correction
9

limx+2ln(x)7x4+8x1={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} 2\ln \left(x\right)-7x^{4} +8x-1=
a.\bf{a.} ++\infty                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} -\infty
c.\bf{c.} 11                                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1-1

Correction
10

Soit ff une fonction dérivable sur ]1;+[\left]1;+\infty\right[ définie par : f(x)=ln(x+2x1)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{x+2}{x-1} \right) . La dérivée de la fonction ff s'écrit :
a.\bf{a.} f(x)=3(x1)(x+2)f'\left(x\right)=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=1(x1)(x+2)f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}

c.\bf{c.} f(x)=3(x1)(x+2)f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=3(x1)2f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-1\right)^{2} }

Correction
11

limx+ln(1x3)={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \ln \left(\frac{1}{x-3} \right)=
a.\bf{a.} ++\infty                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} -\infty
c.\bf{c.} 00                                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} ee

Correction
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