Fonction logarithme népérien

QCM Bilan Numéro 2 (Difficile)

Exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1

Soit ff une fonction définie sur ]32;+[\left]\frac{3}{2} ;+\infty \right[ par f(x)=12ln(x+3)4ln(2x3)3f\left(x\right)=\frac{1}{2} \ln \left(x+3\right)-4\ln \left(2x-3\right)-3.
Proposition 1 : \blue{\text{Proposition 1 : }} « f(x)=ln[(x+3)×e3(2x3)4]f\left(x\right)=\ln \left[\frac{\left(x+3\right)\times e^{3} }{\left(2x-3\right)^{4} } \right] » .

Correction
2

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln(x2+3)x+1f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x^{2} +3\right)}{x+1} .
Proposition 2 : \blue{\text{Proposition 2 : }} « f(x)=1x2+3×(x+1)ln(x2+3)(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x^{2} +3} \times \left(x+1\right)-\ln \left(x^{2} +3\right)}{\left(x+1\right)^{2} } » .

Correction
3

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x2x2+1ln(x2+1)f\left(x\right)=\frac{2x^{2} }{x^{2} +1} -\ln \left(x^{2} +1\right).
Proposition 3 : \blue{\text{Proposition 3 : }} « La courbe représentative de la fonction ff admet 33 tangentes horizontales ».

Correction
4

Soit ff une fonction définie sur [1;2]\left[1;2\right] par f(x)=1x2x+1+ln(x)f\left(x\right)=\frac{-1-x}{2x+1} +\ln \left(x\right).
Proposition 4 : \blue{\text{Proposition 4 : }} « l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [1;2]\left[1;2\right] ».

Correction
5

Soit ff une fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x2+ax+bxln(x)f\left(x\right)=x^{2} +ax+bx\ln \left(x\right)aa et bb sont deux réels.
La courbe représentative de la fonction ff passe par le point A(1;4)A\left(1;4\right) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y=4x1y=4x-1.
Proposition 5 : \blue{\text{Proposition 5 : }} « la fonction ff s'écrit f(x)=x2+3xxln(x)f\left(x\right)=x^{2} +3x-x\ln \left(x\right) ».

Correction
6

Soit ff une fonction définie sur ]1;+[\left]-1;+\infty \right[ par f(x)=ln(x+4)ln(x+1)f\left(x\right)=\ln \left(x+4\right)-\ln \left(x+1\right).
Proposition 6 : \blue{\text{Proposition 6 : }} « limx1x>1f(x)=+\lim\limits_{\begin{array}{l} {x\to -1} \\ {x>-1} \end{array}} f\left(x\right)=+\infty et limx+f(x)=0\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=0 ».

Correction
7

Soit l'inéquation 2×(14)n1052\times \left(\frac{1}{4} \right)^{n} \le 10^{-5} .
Proposition 7 : \blue{\text{Proposition 7 : }} « Les solutions de cette inéquation sont les entiers naturels nn tels que n8n\ge 8 ».

Correction
8

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[ par f(x)=x(1ln(x))2f\left(x\right)=x\left(1-\ln \left(x\right)\right)^{2} .
Proposition 8 : \blue{\text{Proposition 8 : }} L'expression de la fonction dérivée de ff est alors : f(x)=(ln(x)1)(ln(x)+1)f'\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)-1\right)\left(\ln \left(x\right)+1\right) .

Correction
9

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle I=]1;1[I=\left]-1;1\right[ par f(x)=ln(1x1+x)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x} \right).
Proposition 9 : \blue{\text{Proposition 9 : }}La fonction ff est impaire.

Correction
10

On considère la fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle I=]1;1[I=\left]-1;1\right[ par f(x)=ln(1x1+x)f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x} \right).
Proposition 10 : \blue{\text{Proposition 10 : }} f(x)=2(1x)(1+x)f'\left(x\right)=\frac{2}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}

Correction
11

On considère la fonction ff définie sur ]1;+[\left]-1;+\infty\right[ par f(x)=ln(x+1)2x+3f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x+1\right)}{2x+3} .
Proposition 11 : \blue{\text{Proposition 11 : }} Alors f(3)=2ln(2)9f\left(3\right)=\frac{\sqrt{2}\ln \left(2\right)}{9}

Correction
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