Dérivation : rappels de première S

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'\left(x\right)=3\times 2x+12$
$f'\left(x\right)=6x+12$
Ici la dérivée est une fonction du $1$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $f'\left(x\right)\ge 0$.
En effet, en résolvant $f'\left(x\right)\ge 0$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)\ge 0$ équivaut successivement à
$6x+12\ge 0$
$6x\ge -12$
$x\ge \frac{-12}{6}$
$x\ge -2$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $6x+12$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $-2$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'\left(x\right)=-2x+6$
Ici la dérivée est une fonction du $1$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $f'\left(x\right)\ge 0$.
En effet, en résolvant $f'\left(x\right)\ge 0$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)\ge 0$ équivaut successivement à
$-2x+6\ge 0$
$-2x\ge -6$
$x\le \frac{-6}{-2}$
$x\le 3$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $-2x+6$ lorsque $x$ sera inférieur ou égale à $3$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'\left(x\right)=3x^{2} -3$
Ici la dérivée est une fonction du $2$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $3x^{2} -3$, on va utiliser le discriminant.
Alors $a=3$; $b=0$ et $c=-3$.
Or $\Delta =b^{2} -4ac$ donc $\Delta =36$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{1} =-1$.
• $x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ce qui donne $x_{2} =1$.

Comme $a=3>0$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $f$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
On reconnait la forme $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=x+1$ et $v\left(x\right)=x-2$
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ et $v'\left(x\right)=1$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=1\times \left(x-2\right)+\left(x+1\right)\times 1$
$f'\left(x\right)=x-2+x+1$
$f'\left(x\right)=2x-1$
Ici la dérivée est une fonction du $1$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $f'\left(x\right)\ge 0$.
En effet, en résolvant $f'\left(x\right)\ge 0$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)\ge 0$ équivaut successivement à
$2x-1\ge 0$
$2x\ge 1$
$x\ge \frac{1}{2}$
$x\ge \frac{1}{2}$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $2x-1$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $\frac{1}{2}$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{1\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=x+2$ et $v\left(x\right)=3x-3$
Ainsi : $u'\left(x\right)=1$ et $v'\left(x\right)=3$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-3\right)-\left(x+2\right)\times \left(3\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-\left(3x+6\right)}{\left(3x-3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{3x-3-3x-6}{\left(3x-3\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-9}{\left(3x-3\right)^{2} }$
Pour tout réel $x$ différent de $1$, on sait que $\left(3x-3\right)^{2}>0$ et que $-9<0$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\left\{4\right\}$ (on enlève la valeur interdite).
On reconnaît la forme $\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$ avec $u\left(x\right)=-2x+1$ et $v\left(x\right)=x-4$
Ainsi : $u'\left(x\right)=-2$ et $v'\left(x\right)=1$.
Il vient alors que :
$f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x-4\right)-\left(-2x+1\right)\times 1}{\left(x-4\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8-\left(-2x+1\right)}{\left(x-4\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{-2x+8+2x-1}{\left(x-4\right)^{2} }$
$f'\left(x\right)=\frac{7}{\left(x-4\right)^{2} }$
Pour tout réel $x$ différent de $4$, on sait que $\left(x-4\right)^{2}>0$ et que $7>0$. Nous traduisons cela dans un tableau de variation, ci-dessous :