QCM1

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{b}$
$f'\left(-3\right)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-3$ donc au point $A$.
De plus, le point $B$ appartient à cette tangente.
A l'aide du point $A$ et du point $B$ on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
$f'\left(-3\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }$
$f'\left(-3\right)=\frac{-2-6}{-5-\left(-3\right)}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{c}$
La courbe admet un point d'inflexion en $A$ d'abscisse $-3$ donc

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{a}$
Sur l'intervalle $\left[-5;-3\right]$ la courbe est au-dessus de ses tangentes donc $f$ est convexe sur cet intervalle.

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{a}$
Sur l'intervalle $\left[-3;-1\right]$ la courbe est en-dessous de ses tangentes donc $f$ est concave sur cet intervalle.
Il en résulte donc que $f'$ est décroissante sur $\left[-3;-1\right]$.

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{b}$
$f'\left(1\right)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ donc au point $A$.
De plus, le point $B$ appartient à cette tangente.
A l'aide du point $A$ et du point $B$ on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente .
$f'\left(1\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }$

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{a}$
Sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$ la courbe est en-dessous de ses tangentes donc $f$ est concave sur cet intervalle.

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{d}$
On sait que la fonction logarithme népérien est concave, que la fonction exponentielle est convexe, donc son opposé sera concave.
On calcule alors la dérivée seconde des fonctions $f''_{a} (x)=6x-6$ (c'est la dérivée seconde de la réponse a) et $f''_{d} (x)=2$ (c'est la dérivée seconde de la réponse d).
Seule la fonction $f_{d} (x)$ a une dérivée positive sur $\left]0;+\infty \right[$.

$\red{\text{La bonne réponse est }}$ $\red{c}$
On va étudier le signe de la dérivée seconde de $f$ que l'on note $f''$
On sait que :
$f'\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{-x}$.
On reconnait la forme $\left(uv\right)^{'} =u'v+uv'$ avec $u\left(x\right)=1-x$ et $v\left(x\right)=e^{-x}$.
Ainsi $u'\left(x\right)=-1$ et $v'\left(x\right)=-e^{-x}$
D'où :
$f''\left(x\right)=-e^{-x} +\left(1-x\right)\left(-e^{-x} \right)$
$f''\left(x\right)=-e^{-x} -e^{-x} +xe^{-x}$
$f''\left(x\right)=-2e^{-x} +xe^{-x}$
$f''\left(x\right)=-2e^{-x} +xe^{-x}$
$f''\left(x\right)=e^{-x} \left(-2+x\right)$
Pour tout réel $x$, on sait que $e^{-x} >0$.
Ainsi le signe de la dérivée seconde $f''$ dépend de $-2+x$.
$-2+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $+$ dans la ligne de $-2+x$ lorsque $x$ sera supérieur ou égale à $2$.
On en déduit le tableau de variation suivant :