Compléments sur la dérivation et la convexité

QCM1

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative C\mathscr{C} d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [5;1]\left[-5;1\right].
La droite TT est la tangente à la courbe C\mathscr{C} au point A(3;6)A\left(-3;6\right) et passe par le point BB de coordonnées(5;2)\left(-5;-2\right).
Le point AA est l'unique point d'inflexion de la courbe C\mathscr{C} sur [5;1]\left[-5;1\right].
1

On note ff' la fonction dérivée de la fonction ff.
Alors :
  • f(3)=6f'\left(-3\right)=6
  • f(3)=4f'\left(-3\right)=4
  • f(3)=14f'\left(-3\right)=\frac{1}{4}
  • f(3)=16f'\left(-3\right)=\frac{1}{6}

Correction
2

On note ff'' la fonction dérivée seconde de la fonction ff.
Alors :
  • f(3)=6f''\left(-3\right)=6
  • f(3)=4f''\left(-3\right)=4
  • f(3)=0f''\left(-3\right)=0
  • f(3)=14f''\left(-3\right)=\frac{1}{4}

Correction
3

La fonction ff est :
  • Convexe sur [5;3]\left[-5;-3\right]
  • Convexe sur [5;1]\left[-5;-1\right]
  • Convexe sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Concave sur [5;1]\left[-5;-1\right]

Correction
4

La fonction dérivée ff' est :
  • Décroissante sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Croissante sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Croissante sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Croissante sur [5;1]\left[-5;-1\right]

Correction

Exercice 2

On donne ci-dessous la représentation graphique C\mathscr{C} d'une fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle[1;3]\left[-1;3\right].
On note ff' la fonction dérivée de ff .
La tangente à la courbe C\mathscr{C} au point A(1;0)A\left(1;0\right) est tracée, elle passe par le point BB de coordonnées (0;3)\left(0;3\right).
Utiliser le graphique uniquement pour les questions 11 et 22
1

La valeur de f(1)f'\left(1\right) est :
  • f(1)=3f'\left(1\right)=3
  • f(1)=3f'\left(1\right)=-3
  • f(1)=13f'\left(1\right)=-\frac{1}{3}
  • f(1)=0f'\left(1\right)=0

Correction
2

La fonction ff est :
  • Concave sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Convexe sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Concave sur [0;2]\left[0;2\right]
  • Convexe sur [0;2]\left[0;2\right]

Correction
3

Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
  • x33x2+4x^{3} -3x^{2} +4
  • lnx\ln x
  • ex-e^{x}
  • x2+x+5x^{2} +x+5

Correction
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{-x}
4

La fonction ff est :
  • concave sur R\mathbb{R}
  • convexe sur R\mathbb{R}
  • concave sur ];2]\left]-\infty ;2\right] et convexe sur [2;+[\left[2;+\infty \right[
  • convexe sur ];2]\left]-\infty ;2\right] et concave sur [2;+[\left[2;+\infty \right[

Correction
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