Compléments sur la dérivation et la convexité

QCM : calculs de dérivées partie 22

Exercice 1

Dans tout l'exercice on suppose que les fonctions sont dérivables sur un intervalle que l'on ne cherchera pas à déterminer.
1

La formule de la dérivée de vuv\circ u est :
a.\bf{a.} (vu)×u\left(v'\circ u\right)\times u'                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (vu)×u\left(v\circ u'\right)\times u'

c.\bf{c.} (vu)×u\left(v\circ u\right)\times u'                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (vu)×u\left(v'\circ u\right)\times u

Correction
2

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=(1x2)8f\left(x\right)=\left(-1-\frac{x}{2}\right)^{8}. La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=4(1x2)7f'\left(x\right)=-4\left(-1-\frac{x}{2}\right)^{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=8(1x2)7f'\left(x\right)=8\left(-1-\frac{x}{2}\right)^{7}

c.\bf{c.} f(x)=8(1x2)7f'\left(x\right)=-8\left(-1-\frac{x}{2}\right)^{7}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=4(1x2)7f'\left(x\right)=4\left(-1-\frac{x}{2}\right)^{7}

Correction
3

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=54x2+9x+1f\left(x\right)=5\sqrt{4x^{2}+9x+1}.
a.\bf{a.} f(x)=124x2+9x+1f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{4x^{2}+9x+1} }                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=524x2+9x+1f'\left(x\right)=\frac{5}{2\sqrt{4x^{2}+9x+1} }

c.\bf{c.} f(x)=8x+924x2+9x+1f'\left(x\right)=\frac{8x+9}{2\sqrt{4x^{2}+9x+1} }                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=40x+4524x2+9x+1f'\left(x\right)=\frac{40x+45}{2\sqrt{4x^{2}+9x+1} }

Correction
4

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=6e5x+3f\left(x\right)=6e^{-5x+3} . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=6e5x+3f'\left(x\right)=6e^{-5x+3}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=e5x+3f'\left(x\right)=e^{-5x+3}

c.\bf{c.} f(x)=5e5x+3f'\left(x\right)=-5e^{-5x+3}                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=30e5x+3f'\left(x\right)=-30e^{-5x+3}

Correction
5

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=5cos(2πxπ4)f\left(x\right)=5\cos \left(2\pi x-\frac{\pi}{4}\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=5sin(2πxπ4)f'\left(x\right)=5\sin \left(2\pi x-\frac{\pi}{4}\right)                                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=2πsin(2πxπ4)f'\left(x\right)=-2\pi\sin \left(2\pi x-\frac{\pi}{4}\right)

c.\bf{c.} f(x)=2πsin(2πxπ4)f'\left(x\right)=2\pi\sin \left(2\pi x-\frac{\pi}{4}\right)                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=10πsin(2πxπ4)f'\left(x\right)=-10\pi\sin \left(2\pi x-\frac{\pi}{4}\right)

Correction
6

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=sin(5x3+1)f\left(x\right)=\sin \left(5x^3+1\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=cos(5x3+1)f'\left(x\right)=\cos\left(5x^3+1\right)                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=cos(5x3+1)f'\left(x\right)=-\cos\left(5x^3+1\right)

c.\bf{c.} f(x)=15x2cos(5x3+1)f'\left(x\right)=15x^{2}\cos\left(5x^3+1\right)                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=15x2cos(5x3+1)f'\left(x\right)=-15x^{2}\cos\left(5x^3+1\right)

Correction
7

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=6(2x)5f\left(x\right)=\frac{6}{\left(2-x\right)^{5} } . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=6(2x)6f'\left(x\right)=\frac{6}{\left(2-x\right)^{6} }                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=30(2x)6f'\left(x\right)=\frac{30}{\left(2-x\right)^{6} }

c.\bf{c.} f(x)=5(2x)6f'\left(x\right)=\frac{5}{\left(2-x\right)^{6} }                                                                                           \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=30(2x)6f'\left(x\right)=\frac{-30}{\left(2-x\right)^{6} }

Correction
8

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=xcos3(x)f\left(x\right)=x\cos ^{3} \left(x\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=cos3(x)+3xsin(x)cos2(x)f'\left(x\right)=\cos^{3} \left(x\right)+3x\sin \left(x\right)\cos^{2} \left(x\right)                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=cos3(x)3xsin(x)cos(x)f'\left(x\right)=\cos^{3} \left(x\right)-3x\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)

c.\bf{c.} f(x)=cos3(x)3xsin(x)cos2(x)f'\left(x\right)=\cos^{3} \left(x\right)-3x\sin \left(x\right)\cos^{2} \left(x\right)                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=cos3(x)3xsin(x)cos3(x)f'\left(x\right)=\cos^{3} \left(x\right)-3x\sin \left(x\right)\cos^{3} \left(x\right)

Correction
9

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=xex2f\left(x\right)=xe^{x^{2} } . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=2x2ex2f'\left(x\right)=2x^{2}e^{x^{2} }                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=(1+2x2)ex2f'\left(x\right)=\left(1+2x^{2} \right)e^{x^{2} }

c.\bf{c.} f(x)=(1+2x)ex2f'\left(x\right)=\left(1+2x\right)e^{x^{2} }                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=(2+x2)ex2f'\left(x\right)=\left(2+x^{2} \right)e^{x^{2} }

Correction
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