Compléments sur la dérivation et la convexité

QCM : calculs de dérivées partie 11

Exercice 1

Dans tout l'exercice on suppose que les fonctions sont dérivables sur un intervalle que l'on ne cherchera pas à déterminer.
1

La formule de la dérivée de vuv\circ u est :
a.\bf{a.} (vu)×u\left(v'\circ u\right)\times u                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} (vu)×u\left(v\circ u'\right)\times u'

c.\bf{c.} (vu)×u\left(v\circ u\right)\times u'                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} (vu)×u\left(v'\circ u\right)\times u'

Correction
2

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=(52x)6f\left(x\right)=\left(5-2x\right)^{6}. La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=12(52x)5f'\left(x\right)=-12\left(5-2x\right)^{5}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=12(52x)6f'\left(x\right)=12\left(5-2x\right)^{6}

c.\bf{c.} f(x)=12(52x)6f'\left(x\right)=-12\left(5-2x\right)^{6}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=12(52x)5f'\left(x\right)=12\left(5-2x\right)^{5}

Correction
3

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=35x2+7x1f\left(x\right)=3\sqrt{5x^{2}+7x-1}.
a.\bf{a.} f(x)=125x2+7x1f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{5x^{2}+7x-1} }                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=325x2+7x1f'\left(x\right)=\frac{3}{2\sqrt{5x^{2}+7x-1} }

c.\bf{c.} f(x)=30x+2125x2+7x1f'\left(x\right)=\frac{30x+21}{2\sqrt{5x^{2}+7x-1} }                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=10+725x2+7x1f'\left(x\right)=\frac{10+7}{2\sqrt{5x^{2}+7x-1} }

Correction
4

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=3ex+1f\left(x\right)=3e^{-x +1} . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=3ex+1f'\left(x\right)=3e^{-x+1}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=ex+1f'\left(x\right)=e^{-x+1}

c.\bf{c.} f(x)=3ex+1f'\left(x\right)=-3e^{-x+1}                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=3ex+1f'\left(x\right)=3e^{-x+1}

Correction
5

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=cos(πxπ7)f\left(x\right)=\cos \left(\pi x-\frac{\pi}{7}\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=πsin(πxπ7)f'\left(x\right)=-\pi\sin \left(\pi x-\frac{\pi}{7}\right)                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=πsin(πxπ7)f'\left(x\right)=\pi\sin \left(\pi x-\frac{\pi}{7}\right)

c.\bf{c.} f(x)=sin(πxπ7)f'\left(x\right)=-\sin \left(\pi x-\frac{\pi}{7}\right)                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=sin(πxπ7)f'\left(x\right)=\sin \left(\pi x-\frac{\pi}{7}\right)

Correction
6

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=sin(x2+9x)f\left(x\right)=\sin \left(x^2+9x\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=(2x+9)cos(x2+9x)f'\left(x\right)=-\left(2x+9\right)\cos\left(x^2+9x\right)                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=cos(x2+9x)f'\left(x\right)=\cos\left(x^2+9x\right)

c.\bf{c.} f(x)=(2x+9)cos(x2+9x)f'\left(x\right)=\left(2x+9\right)\cos\left(x^2+9x\right)                                                                                                \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=(x2+9x)cos(x2+9x)f'\left(x\right)=\left(x^2+9x\right)\cos\left(x^2+9x\right)

Correction
7

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=3(5x9)6f\left(x\right)=\frac{3}{\left(5x-9\right)^{6} } . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=30(5x9)7f'\left(x\right)=\frac{30}{\left(5x-9\right)^{7} }                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=30(5x9)7f'\left(x\right)=\frac{30}{\left(5x-9\right)^{7} }

c.\bf{c.} f(x)=90(5x9)7f'\left(x\right)=\frac{90}{\left(5x-9\right)^{7} }                                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=90(5x9)7f'\left(x\right)=\frac{-90}{\left(5x-9\right)^{7} }

Correction
8

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=1cos2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=1cos2(x)f'\left(x\right)=-\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}

c.\bf{c.} f(x)=1sin2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\sin ^{2} \left(x\right)}                                                                                         \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=cos2(x)cos2(x)cos2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)-\cos ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

Correction
9

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=xsin2(x)f\left(x\right)=x\sin ^{2} \left(x\right) . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=sin2(x)2xcos(x)sin(x)f'\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)-2x\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=sin2(x)+2xcos(x)sin(x)f'\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)+2x\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)

c.\bf{c.} f(x)=sin2(x)+xcos(x)sin(x)f'\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)+x\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=sin2(x)+2xsin(x)f'\left(x\right)=\sin ^{2} \left(x\right)+2x\sin \left(x\right)

Correction
10

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=xx2+1f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=1(x2+1)2x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x^{2} +1\right)^{2}\sqrt{x^{2} +1} }                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=x(x2+1)x2+1f\left(x\right)=\frac{x}{\left(x^{2} +1\right)\sqrt{x^{2} +1} }

c.\bf{c.} f(x)=1(x2+1)x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x^{2} +1\right)\sqrt{x^{2} +1} }                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=2(x2+1)x2+1f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x^{2} +1\right)\sqrt{x^{2} +1} }

Correction
11

Soit ff la fonction dérivable sur II par f(x)=2+x2xf\left(x\right)=\sqrt{\frac{2+x}{2-x} } . La dérivée de la fonction ff est :
a.\bf{a.} f(x)=1(2x)22+x2xf'\left(x\right)=\frac{1}{\left(2-x\right)^{2} \sqrt{\frac{2+x}{2-x} } }                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} f(x)=2(2x)22+x2xf'\left(x\right)=\frac{2}{\left(2-x\right)^{2} \sqrt{\frac{2+x}{2-x} } }

c.\bf{c.} f(x)=2(2x)2+x2xf'\left(x\right)=\frac{2}{\left(2-x\right) \sqrt{\frac{2+x}{2-x} } }                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} f(x)=2(2x)22+x2xf'\left(x\right)=\frac{-2}{\left(2-x\right)^{2} \sqrt{\frac{2+x}{2-x} } }

Correction
12

pp est la fonction telle que : p(x)=(2x2+x+1)3p\left(x\right)=\left(2x^{2}+x+1\right)^{3} . Donc :
a.\bf{a.} p(0)=3p'\left(0\right)=-3                                                                             \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} p(0)=3p'\left(0\right)=3

c.\bf{c.} p(0)=0p'\left(0\right)=0                                                                                 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} p(0)=1p'\left(0\right)=-1

Correction
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