Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Justifier la réponse choisie.
Question 1
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. La probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à : a.3220b.3221
c.3219d.3223
Correction
La bonne reˊponse estb On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Il y a 8 cœurs et 4 dames, dont la dame de cœur. Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc 32−(8+4−1)=21. En effet, il ne faut pas compter deux fois la dame de cœur. Comme il y a équiprobabilité sur les 32 cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : 3221
Question 2
On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes. Le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
a.231b.496
c.465d.210
Correction
La bonne reˊponse estd D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc 32−(8+4−1)=21. Nous voulons donc une combinaison de 2 éléments dans un ensemble de 21 . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à : (212)=2!(21−2)!21! Ainsi : (212)=210 Il y a donc 210 possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,
Dans une combinaison, il n’y a pas de notion d’ordre
Question 3
Une urne contient 4 boules blanches, 2 boules grises et 3 boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est : a.843b.841
c.844d.845
Correction
La bonne reˊponse estd L'urne contient 4 boules blanches, 2 boules grises et 3 boules noires. Il y a donc en tout 9 boules dans l'urne. De manière générale, pour tirer au hasard 3 boules, il faut une combinaison de 3 boules dans un ensemble de 9. Ainsi : (93) . Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : (93)=84 Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre 3 noires parmi 3 noires (33)ou il faut prendre 3 blanches parmi 4 blanches (43) . Nous allons noter A l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi : p(A)=nombre des issues possiblesnombre des issues favorables A p(A)=(93)(33)+(43) p(A)=841+4 Ainsi :
p(A)=845
Question 4
Une urne contient 4 boules blanches, 2 boules grises et 3 boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est : a.71b.72
c.73d.74
Correction
La bonne reˊponse estb De manière générale, pour tirer au hasard 3 boules, il faut une combinaison de 3 boules dans un ensemble de 9. Ainsi : (93) . Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : (93)=84 Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre 1 blanche parmi 4 blanches (41)et il faut prendre 1 grise parmi 2 grises (21)et il faut prendre 1 noire parmi 3 noires (31) . Nous allons noter B l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi : p(B)=nombre des issues possiblesnombre des issues favorables B P(B)=(93)(41)×(21)×(31) p(B)=844×2×3 p(B)=8424 Ainsi :
p(B)=72
Question 5
Lors d'une course de demi-fond, on a dénombré 156 classements possibles aux deux premières places. Le nombre de participants au départ est égale à : a.12b.13
c.−12d.14
Correction
La bonne reˊponse estb
Soit k un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments est : n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=(n−k)!n!
On rappelle également qu'un arrangement de k éléments de E est un k-uplets d'éléments distincts de l'ensemble E .
On note n le nombre de participants. Ici, on appelle E l'ensemble des n éléments où n est un entier naturel non nul. Nous voulons le nombre de classement aux 2 premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de 2-uplets d'éléments distincts d'un ensemble E à n éléments. (Eléments distincts car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement. Il en résulte donc : (n−2)!n!=(n−2)!(n−2)!×(n−1)×n (n−2)!n!=(n−1)×n Il y a donc (n−1)×n possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
Dans un arrangement, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre à prendre en compte .
D'après l'énoncé, on a dénombré 156 classements possibles aux deux premières places. Il nous faut alors résoudre l'équation (n−1)×n=156 Ce qui donne : n2−n=156 n2−n−156=0 Δ=625 Comme Δ>0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées n1 et n2 telles que : n1=2a−b−Δ ainsi n1=2×1−(−1)−625 d'où n1=−12 n2=2a−b+Δ ainsi n2=2×1−(−1)+625 d'où n2=13 n est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout 13 participants à cette course.
Question 6
Un code inconnu est constitué de 8 signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions. Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ? a. environ 0,3 seconde b. environ 8 heures
c. environ 3 heures d. environ 470 heures
Correction
La bonne reˊponse estb
Le nombre de k-uplets d'un ensemble E à n éléments est égale à nk .
Le terme k-listes est un synonyme de k-uplets
Soit E l'ensemble des 36 signes utilisables pour chacune des positions. Nous devons, ici, chercher le nombre de 8-uplets d'éléments ( on peut également dire 8-listes d'éléments) d'un ensemble E à 36 éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) . D'après le rappel, il y en a donc : 368 codes possibles. Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde que l'on peut écrire 108 de codes par seconde. Il faut donc 108368≈28211 secondes. 28211 secondes correspond à 360028211=7,8 heures. Le logiciel mettra environ 8 heures pour découvrir le code.
Question 7
Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est : a.220b.210
c.250d.200
Correction
La bonne reˊponse esta
(np) est appelé coefficient binomial et se prononce " p parmi n " .
(np)=p!(n−p)!n!
0!=1
On ne tient pas compte de l’ordre. Il s'agit d'une combinaison de 3 éléments dans un ensemble de 12. Il vient alors que : (123)=3!(12−3)!312! Ainsi : (123)=220 Il y a donc 220 combinaisons possibles pour un élève de première générale de choisir trois spécialités parmi les douze proposées.
Dans une combinaison, il n’y a pas de notion d’ordre
Question 8
Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n’ont aucun des deux défauts. La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est : a.0,004b.0,5
c.0,046d.0,954
Correction
La bonne reˊponse esta Notons A l'évènement « La puce possède le défaut A » Notons B l’événement « La puce possède le défaut B » D'après l'énoncé, nous savons que p(A)=0,028 et p(B)=0,022 . L'évènement A∩B correspond à l'évènement possède le défaut A et le défaut B . D'après l'énoncé, 95,4% des puces n’ont aucun des deux défauts. Cela s'écrit alors : p(A∩B)=0,954 qui correspond également p(A∪B)=0,954.
p(A∩B)=p(A∪B)
p(A)=1−p(A)
Il vient alors que : p(A∪B)=1−p(A∪B) p(A∪B)=1−0,954 Ainsi :
p(A∪B)=0,046
Nous allons pouvoir maintenant calculer p(A∩B).
Pour tous évènements A et B, on a :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Comme P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) alors P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B) Ainsi : P(A∩B)=0,028+0,022−0,046 Finalement :