QCM

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes. Il y a $8$ cœurs et $4$ dames, dont la dame de cœur.
Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
En effet, il ne faut pas compter $\blue{\text{deux fois}}$ la dame de cœur.
Comme il y a équiprobabilité sur les $32$ cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : $\frac{21}{32}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
Nous voulons donc une combinaison de $2$ éléments dans un ensemble de $21$ . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
$\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{21!}{2!\left(21-2\right)!}$
Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=210$
Il y a donc $210$ possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
L'urne contient $4$ boules blanches, $2$ boules grises et $3$ boules noires. Il y a donc en tout $9$ boules dans l'urne.
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre $3$ noires parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$ $\red{\text{ou}}$ il faut prendre $3$ blanches parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $A$ l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi :
$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$
$p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(A\right)=\frac{1+4}{84}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre $1$ blanche parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ grise parmi $2$ grises $\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ noire parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $B$ l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi :
$p\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}$
$P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(B\right)=\frac{4\times2\times3}{84}$
$p\left(B\right)=\frac{24}{84}$
Ainsi :