QCM

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes. Il y a $8$ cœurs et $4$ dames, dont la dame de cœur.
Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
En effet, il ne faut pas compter $\blue{\text{deux fois}}$ la dame de cœur.
Comme il y a équiprobabilité sur les $32$ cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : $\frac{21}{32}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
Nous voulons donc une combinaison de $2$ éléments dans un ensemble de $21$ . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
$\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{21!}{2!\left(21-2\right)!}$
Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=210$
Il y a donc $210$ possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
L'urne contient $4$ boules blanches, $2$ boules grises et $3$ boules noires. Il y a donc en tout $9$ boules dans l'urne.
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre $3$ noires parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$ $\red{\text{ou}}$ il faut prendre $3$ blanches parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $A$ l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi :
$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$
$p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(A\right)=\frac{1+4}{84}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre $1$ blanche parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ grise parmi $2$ grises $\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ noire parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $B$ l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi :
$p\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}$
$P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(B\right)=\frac{4\times2\times3}{84}$
$p\left(B\right)=\frac{24}{84}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$On note $n$ le nombre de participants.
Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{n}$ éléments où $n$ est un entier naturel non nul.
Nous voulons le nombre de classement aux $\red{2}$ premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{2}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{n}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}$
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n$
Il y a donc $\left(n-1\right)\times n$ possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
D'après l'énoncé, on a dénombré $156$ classements possibles aux deux premières places.
Il nous faut alors résoudre l'équation $\left(n-1\right)\times n=156$
Ce qui donne :
$n^{2} -n=156$
$n^{2} -n-156=0$
$\Delta =625$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $n{}_{1}$ et $n{}_{2}$ telles que :
$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{625} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{1} =-12$
$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{625} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{2} =13$
$n$ est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout $\red{13}$ participants à cette course.