QCM - Exercice 1

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$
On tire au hasard une carte d’un jeu de $$32$$ cartes. Il y a $$8$$ cœurs et $$4$$ dames, dont la dame de cœur.
Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $$32-\left(8+4-1\right)= 21$$.
En effet, il ne faut pas compter $$\blue{\text{deux fois}}$$ la dame de cœur.
Comme il y a équiprobabilité sur les $$32$$ cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : $$\frac{21}{32}$$

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $$32-\left(8+4-1\right)= 21$$.
Nous voulons donc une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$21$$ . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
$$\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{21!}{2!\left(21-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=210$$
Il y a donc $$210$$ possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{d}$$
L'urne contient $$4$$ boules blanches, $$2$$ boules grises et $$3$$ boules noires. Il y a donc en tout $$9$$ boules dans l'urne.
De manière générale, pour tirer au hasard $$3$$ boules, il faut une combinaison de $$3$$ boules dans un ensemble de $$9$$. Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $$\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$$
Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre $$3$$ noires parmi $$3$$ noires $$\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$$ $$\red{\text{ou}}$$ il faut prendre $$3$$ blanches parmi $$4$$ blanches $$\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$$ .
Nous allons noter $$A$$ l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi :
$$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$$
$$p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$$
$$p\left(A\right)=\frac{1+4}{84}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$
De manière générale, pour tirer au hasard $$3$$ boules, il faut une combinaison de $$3$$ boules dans un ensemble de $$9$$. Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $$\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$$
Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre $$1$$ blanche parmi $$4$$ blanches $$\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)$$ $$\red{\text{et}}$$ il faut prendre $$1$$ grise parmi $$2$$ grises $$\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)$$ $$\red{\text{et}}$$ il faut prendre $$1$$ noire parmi $$3$$ noires $$\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$$ .
Nous allons noter $$B$$ l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi :
$$p\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}$$
$$P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$$
$$p\left(B\right)=\frac{4\times2\times3}{84}$$
$$p\left(B\right)=\frac{24}{84}$$
Ainsi :

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$On note $$n$$ le nombre de participants.
Ici, on appelle $$E$$ l'ensemble des $$\blue{n}$$ éléments où $$n$$ est un entier naturel non nul.
Nous voulons le nombre de classement aux $$\red{2}$$ premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de $$\red{2}$$-uplets d'éléments $$\text{\pink{distincts}}$$ d'un ensemble $$E$$ à $$\blue{n}$$ éléments. (Eléments $$\text{\pink{distincts}}$$ car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $$\text{\purple{d'arrangement}} .$$
Il en résulte donc :
$$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}$$
$$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n$$
Il y a donc $$\left(n-1\right)\times n$$ possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
D'après l'énoncé, on a dénombré $$156$$ classements possibles aux deux premières places.
Il nous faut alors résoudre l'équation $$\left(n-1\right)\times n=156$$
Ce qui donne :
$$n^{2} -n=156$$
$$n^{2} -n-156=0$$
$$\Delta =625$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$n{}_{1}$$ et $$n{}_{2}$$ telles que :
$$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{625} }{2\times 1}$$ d'où $$n{}_{1} =-12$$
$$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{625} }{2\times 1}$$ d'où $$n{}_{2} =13$$
$$n$$ est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout $$\red{13}$$ participants à cette course.

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{b}$$Soit $$E$$ l'ensemble des $$36$$ signes utilisables pour chacune des positions.
Nous devons, ici, chercher le nombre de $$\red{8}$$-uplets d'éléments ( on peut également dire $$\red{8}$$-listes d'éléments) d'un ensemble $$E$$ à $$\blue{36}$$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $$\blue{36}^{\red{8}}$$ codes possibles.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde que l'on peut écrire $$10^{8}$$ de codes par seconde.
Il faut donc $$\frac{36^{8}}{10^{8}}\approx 28$$ $$211$$ secondes.
$$28$$ $$211$$ secondes correspond à $$\frac{28211}{3600}=7,8$$ heures.
Le logiciel mettra environ $$8$$ heures pour découvrir le code.

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Il s'agit d'une combinaison de $$3$$ éléments dans un ensemble de $$12$$. Il vient alors que :
$$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{312!}{3!\left(12-3\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=220$$
Il y a donc $$220$$ combinaisons possibles pour un élève de première générale de choisir trois spécialités parmi les douze proposées.

$$\red{\text{La bonne réponse est}}$$ $$\red{a}$$
Notons $$A$$ l'évènement « La puce possède le défaut $$A$$ »
Notons $$B$$ l’événement « La puce possède le défaut $$B$$ »
D'après l'énoncé, nous savons que $$p\left(A\right)=0,028$$ et $$p\left(B\right)=0,022$$ .
L'évènement $$A \cap B$$ correspond à l'évènement possède le défaut $$A$$ et le défaut $$B$$ .
D'après l'énoncé, $$95,4\%$$ des puces n’ont aucun des deux défauts. Cela s'écrit alors : $$p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,954$$ qui correspond également $$p\left(\overline{A\cup B}\right)=0,954$$.
Il vient alors que :
$$p\left(A \cup B\right)=1-p\left(\overline{A\cup B}\right)$$
$$p\left(A \cup B\right)=1-0,954$$
Ainsi :
Nous allons pouvoir maintenant calculer $$p\left(A \cap B\right)$$.
Comme $$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$ alors $$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$
Ainsi :
$$P\left(A\cap B\right)=0,028+0,022-0,046$$
Finalement :