QCM

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes. Il y a $8$ cœurs et $4$ dames, dont la dame de cœur.
Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
En effet, il ne faut pas compter $\blue{\text{deux fois}}$ la dame de cœur.
Comme il y a équiprobabilité sur les $32$ cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : $\frac{21}{32}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc $32-\left(8+4-1\right)= 21$.
Nous voulons donc une combinaison de $2$ éléments dans un ensemble de $21$ . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
$\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{21!}{2!\left(21-2\right)!}$
Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=210$
Il y a donc $210$ possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
L'urne contient $4$ boules blanches, $2$ boules grises et $3$ boules noires. Il y a donc en tout $9$ boules dans l'urne.
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre $3$ noires parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$ $\red{\text{ou}}$ il faut prendre $3$ blanches parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $A$ l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi :
$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$
$p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(A\right)=\frac{1+4}{84}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
De manière générale, pour tirer au hasard $3$ boules, il faut une combinaison de $3$ boules dans un ensemble de $9$. Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)$ .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : $\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84$
Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre $1$ blanche parmi $4$ blanches $\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ grise parmi $2$ grises $\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)$ $\red{\text{et}}$ il faut prendre $1$ noire parmi $3$ noires $\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$ .
Nous allons noter $B$ l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi :
$p\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}$
$P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}$
$p\left(B\right)=\frac{4\times2\times3}{84}$
$p\left(B\right)=\frac{24}{84}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$On note $n$ le nombre de participants.
Ici, on appelle $E$ l'ensemble des $\blue{n}$ éléments où $n$ est un entier naturel non nul.
Nous voulons le nombre de classement aux $\red{2}$ premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de $\red{2}$-uplets d'éléments $\text{\pink{distincts}}$ d'un ensemble $E$ à $\blue{n}$ éléments. (Eléments $\text{\pink{distincts}}$ car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation $\text{\purple{d'arrangement}} .$
Il en résulte donc :
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}$
$\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n$
Il y a donc $\left(n-1\right)\times n$ possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
D'après l'énoncé, on a dénombré $156$ classements possibles aux deux premières places.
Il nous faut alors résoudre l'équation $\left(n-1\right)\times n=156$
Ce qui donne :
$n^{2} -n=156$
$n^{2} -n-156=0$
$\Delta =625$
Comme $\Delta >0$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $n{}_{1}$ et $n{}_{2}$ telles que :
$n{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{625} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{1} =-12$
$n{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$ ainsi $n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{625} }{2\times 1}$ d'où $n{}_{2} =13$
$n$ est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout $\red{13}$ participants à cette course.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$Soit $E$ l'ensemble des $36$ signes utilisables pour chacune des positions.
Nous devons, ici, chercher le nombre de $\red{8}$-uplets d'éléments ( on peut également dire $\red{8}$-listes d'éléments) d'un ensemble $E$ à $\blue{36}$ éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
D'après le rappel, il y en a donc : $\blue{36}^{\red{8}}$ codes possibles.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde que l'on peut écrire $10^{8}$ de codes par seconde.
Il faut donc $\frac{36^{8}}{10^{8}}\approx 28$ $211$ secondes.
$28$ $211$ secondes correspond à $\frac{28211}{3600}=7,8$ heures.
Le logiciel mettra environ $8$ heures pour découvrir le code.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$ Il s'agit d'une combinaison de $3$ éléments dans un ensemble de $12$. Il vient alors que :
$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{312!}{3!\left(12-3\right)!}$
Ainsi : $\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=220$
Il y a donc $220$ combinaisons possibles pour un élève de première générale de choisir trois spécialités parmi les douze proposées.

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
Notons $A$ l'évènement « La puce possède le défaut $A$ »
Notons $B$ l’événement « La puce possède le défaut $B$ »
D'après l'énoncé, nous savons que $p\left(A\right)=0,028$ et $p\left(B\right)=0,022$ .
L'évènement $A \cap B$ correspond à l'évènement possède le défaut $A$ et le défaut $B$ .
D'après l'énoncé, $95,4\%$ des puces n’ont aucun des deux défauts. Cela s'écrit alors : $p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,954$ qui correspond également $p\left(\overline{A\cup B}\right)=0,954$.
Il vient alors que :
$p\left(A \cup B\right)=1-p\left(\overline{A\cup B}\right)$
$p\left(A \cup B\right)=1-0,954$
Ainsi :
Nous allons pouvoir maintenant calculer $p\left(A \cap B\right)$.
Comme $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$ alors $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$
Ainsi :
$P\left(A\cap B\right)=0,028+0,022-0,046$
Finalement :