Combinatoire et dénombrement

QCM

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Justifier la réponse choisie.
1

On tire au hasard une carte d’un jeu de 3232 cartes.
La probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
a.\bf{a.} 2032\frac{20}{32}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 2132\frac{21}{32}

c.\bf{c.} 1932\frac{19}{32}                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 2332\frac{23}{32}

Correction
2

On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 3232 cartes.
Le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :

a.\bf{a.} 231231                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 496496

c.\bf{c.} 465465                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 210210

Correction
3

Une urne contient 44 boules blanches, 22 boules grises et 33 boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 33 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :
a.\bf{a.} 384\frac{3}{84}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 184\frac{1}{84}

c.\bf{c.} 484\frac{4}{84}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 584\frac{5}{84}

Correction
4

Une urne contient 44 boules blanches, 22 boules grises et 33 boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 33 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :
a.\bf{a.} 17\frac{1}{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 27\frac{2}{7}

c.\bf{c.} 37\frac{3}{7}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 47\frac{4}{7}

Correction
5

Lors d'une course de demi-fond, on a dénombré 156156 classements possibles aux deux premières places. Le nombre de participants au départ est égale à :
a.\bf{a.} 1212                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 1313

c.\bf{c.} 12-12                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1414

Correction
6

Un code inconnu est constitué de 88 signes.
Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 3636 signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
a.\bf{a.} environ 0,30,3 seconde                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} environ 88 heures

c.\bf{c.} environ 33 heures                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} environ 470470 heures

Correction
7

Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
Le nombre de combinaisons possibles est :
a.\bf{a.} 220220                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 210210

c.\bf{c.} 250250                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 200200

Correction
8

Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés AA et BB. Une étude statistique montre que 2,8%2,8\% des puces ont le défaut AA, 2,2%2,2\% des puces ont le défaut BB et, heureusement, 95,4%95,4\% des puces n’ont aucun des deux défauts.
La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
a.\bf{a.} 0,0040,004                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 0,50,5

c.\bf{c.} 0,0460,046                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 0,9540,954

Correction
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