Combinatoire et dénombrement

QCM - Exercice 1

15 min
30
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) . Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Justifier la réponse choisie.
Question 1

On tire au hasard une carte d’un jeu de 3232 cartes.
La probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
a.\bf{a.} 2032\frac{20}{32}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 2132\frac{21}{32}

c.\bf{c.} 1932\frac{19}{32}                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 2332\frac{23}{32}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
On tire au hasard une carte d’un jeu de 3232 cartes. Il y a 88 cœurs et 44 dames, dont la dame de cœur.
Le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc 32(8+41)=2132-\left(8+4-1\right)= 21.
En effet, il ne faut pas compter deux fois\blue{\text{deux fois}} la dame de cœur.
Comme il y a équiprobabilité sur les 3232 cartes, la probabilité de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est donc égale à : 2132\frac{21}{32}
Question 2

On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 3232 cartes.
Le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :

a.\bf{a.} 231231                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 496496

c.\bf{c.} 465465                                                                                                    \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 210210

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
D'après la question précédente, nous savons que le nombre de cartes qui ne sont ni des dames ni des cœurs est donc 32(8+41)=2132-\left(8+4-1\right)= 21.
Nous voulons donc une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 2121 . Il en résulte donc que le nombre de possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur, est égale à :
(212)=21!2!(212)!\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{21!}{2!\left(21-2\right)!}
Ainsi : (212)=210\left(\begin{array}{c} {21} \\ {2} \end{array}\right)=210
Il y a donc 210210 possibilités de n’obtenir ni une dame, ni un cœur,
Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
Question 3

Une urne contient 44 boules blanches, 22 boules grises et 33 boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 33 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :
a.\bf{a.} 384\frac{3}{84}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 184\frac{1}{84}

c.\bf{c.} 484\frac{4}{84}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 584\frac{5}{84}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} d\red{d}
L'urne contient 44 boules blanches, 22 boules grises et 33 boules noires. Il y a donc en tout 99 boules dans l'urne.
De manière générale, pour tirer au hasard 33 boules, il faut une combinaison de 33 boules dans un ensemble de 99. Ainsi : (93)\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right) .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : (93)=84\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84
Pour obtenir trois boules de même couleur, il faut donc prendre 33 noires parmi 33 noires (33)\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right) ou\red{\text{ou}} il faut prendre 33 blanches parmi 44 blanches (43)\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) .
Nous allons noter AA l'évènement la probabilité d’obtenir trois boules de même couleur. Ainsi :
p(A)=nombre des issues favorables Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}
p(A)=(33)+(43)(93)p\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}
p(A)=1+484p\left(A\right)=\frac{1+4}{84}
Ainsi :
p(A)=584p\left(A\right)=\frac{5}{84}
Question 4

Une urne contient 44 boules blanches, 22 boules grises et 33 boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 33 boules de l’urne. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :
a.\bf{a.} 17\frac{1}{7}                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 27\frac{2}{7}

c.\bf{c.} 37\frac{3}{7}                                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 47\frac{4}{7}

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
De manière générale, pour tirer au hasard 33 boules, il faut une combinaison de 33 boules dans un ensemble de 99. Ainsi : (93)\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right) .
Cela signifie que le nombre de tirages possibles est alors : (93)=84\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)=84
Pour obtenir trois boules de couleurs différentes, il faut donc prendre 11 blanche parmi 44 blanches (41)\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right) et\red{\text{et}} il faut prendre 11 grise parmi 22 grises (21)\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) et\red{\text{et}} il faut prendre 11 noire parmi 33 noires (31)\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right) .
Nous allons noter BB l’événement la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes. Ainsi :
p(B)=nombre des issues favorables Bnombre des issues possiblesp\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}
P(B)=(41)×(21)×(31)(93)P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {9} \\ {3} \end{array}\right)}
p(B)=4×2×384p\left(B\right)=\frac{4\times2\times3}{84}
p(B)=2484p\left(B\right)=\frac{24}{84}
Ainsi :
p(B)=27p\left(B\right)=\frac{2}{7}
Question 5

Lors d'une course de demi-fond, on a dénombré 156156 classements possibles aux deux premières places. Le nombre de participants au départ est égale à :
a.\bf{a.} 1212                                                                                                   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 1313

c.\bf{c.} 12-12                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 1414

Correction
La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1kn1\le k \le \blue{n}.
Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
n×(n1)×(n2)××(nk+1)=n!(nk)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
  • On note nn le nombre de participants.
    Ici, on appelle EE l'ensemble des n\blue{n} éléments où nn est un entier naturel non nul.
    Nous voulons le nombre de classement aux 2\red{2} premières places , c'est à dire que nous cherchons le nombre de 2\red{2}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car un participant ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    n!(n2)!=(n2)!×(n1)×n(n2)!\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!}=\frac{\left(n-2\right)!\times \left(n-1\right)\times n}{\left(n-2\right)!}
    n!(n2)!=(n1)×n\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{2}\right)!} =\left(n-1\right)\times n
    Il y a donc (n1)×n\left(n-1\right)\times n possibilités d'obtenir un classement pour les deux premières places.
    Dans un arrangement\text{\purple{arrangement}}, il n’y a pas de reˊpeˊtitions des eˊleˊments\text{\red{n'y a pas de répétitions des éléments}} (éléments distincts) et surtout il y a une notion d’ordre\text{\red{notion d'ordre}} à prendre en compte .
    D'après l'énoncé, on a dénombré 156156 classements possibles aux deux premières places.
    Il nous faut alors résoudre l'équation (n1)×n=156\left(n-1\right)\times n=156
    Ce qui donne :
    n2n=156n^{2} -n=156
    n2n156=0n^{2} -n-156=0
    Δ=625\Delta =625
    Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées n1n{}_{1} et n2n{}_{2} telles que :
    n1=bΔ2an{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi n1=(1)6252×1n{}_{1} =\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{625} }{2\times 1} d'où n1=12n{}_{1} =-12
    n2=b+Δ2an{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi n2=(1)+6252×1n{}_{2} =\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{625} }{2\times 1} d'où n2=13n{}_{2} =13
    nn est un entier naturel non nul. Il en résulte donc qu'il y a en tout 13\red{13} participants à cette course.
    Question 6

    Un code inconnu est constitué de 88 signes.
    Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc 3636 signes utilisables pour chacune des positions.
    Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde. En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?
    a.\bf{a.} environ 0,30,3 seconde                                                                                     \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} environ 88 heures

    c.\bf{c.} environ 33 heures                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} environ 470470 heures

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} b\red{b}
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets
  • Soit EE l'ensemble des 3636 signes utilisables pour chacune des positions.
    Nous devons, ici, chercher le nombre de 8\red{8}-uplets d'éléments ( on peut également dire 8\red{8}-listes d'éléments) d'un ensemble EE à 36\blue{36} éléments (nous pouvons ici réutiliser les chiffres plusieurs fois) .
    D'après le rappel, il y en a donc : 368\blue{36}^{\red{8}} codes possibles.
    Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde que l'on peut écrire 10810^{8} de codes par seconde.
    Il faut donc 36810828\frac{36^{8}}{10^{8}}\approx 28 211211 secondes.
    2828 211211 secondes correspond à 282113600=7,8\frac{28211}{3600}=7,8 heures.
    Le logiciel mettra environ 88 heures pour découvrir le code.
    Question 7

    Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
    Le nombre de combinaisons possibles est :
    a.\bf{a.} 220220                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 210210

    c.\bf{c.} 250250                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 200200

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(np)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
  • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 1212. Il vient alors que :
    (123)=312!3!(123)!\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{312!}{3!\left(12-3\right)!}
    Ainsi : (123)=220\left(\begin{array}{c} {12} \\ {3} \end{array}\right)=220
    Il y a donc 220220 combinaisons possibles pour un élève de première générale de choisir trois spécialités parmi les douze proposées.
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 8

    Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés AA et BB. Une étude statistique montre que 2,8%2,8\% des puces ont le défaut AA, 2,2%2,2\% des puces ont le défaut BB et, heureusement, 95,4%95,4\% des puces n’ont aucun des deux défauts.
    La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
    a.\bf{a.} 0,0040,004                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; b.\bf{b.} 0,50,5

    c.\bf{c.} 0,0460,046                                                                                               \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; d.\bf{d.} 0,9540,954

    Correction
    La bonne reˊponse est\red{\text{La bonne réponse est}} a\red{a}
    Notons AA l'évènement « La puce possède le défaut AA »
    Notons BB l’événement « La puce possède le défaut BB »
    D'après l'énoncé, nous savons que p(A)=0,028p\left(A\right)=0,028 et p(B)=0,022p\left(B\right)=0,022 .
    L'évènement ABA \cap B correspond à l'évènement possède le défaut AA et le défaut BB .
    D'après l'énoncé, 95,4%95,4\% des puces n’ont aucun des deux défauts. Cela s'écrit alors : p(AB)=0,954p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=0,954 qui correspond également p(AB)=0,954p\left(\overline{A\cup B}\right)=0,954.
  • p(AB)=p(AB)p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=p\left(\overline{A\cup B}\right)
  • p(A)=1p(A)p\left(A\right)=1-p\left(\overline{A}\right)
  • Il vient alors que :
    p(AB)=1p(AB)p\left(A \cup B\right)=1-p\left(\overline{A\cup B}\right)
    p(AB)=10,954p\left(A \cup B\right)=1-0,954
    Ainsi :
    p(AB)=0,046p\left(A \cup B\right)=0,046

    Nous allons pouvoir maintenant calculer p(AB)p\left(A \cap B\right).
    Pour tous évènements AA et BB, on a :
    • P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
    Comme P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right) alors P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)
    Ainsi :
    P(AB)=0,028+0,0220,046P\left(A\cap B\right)=0,028+0,022-0,046
    Finalement :
    P(AB)=0,004P\left(A\cap B\right)=0,004