Calcul intégral

QCM Bilan Numéro 2

Exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
1

Soient ff et gg deux fonctions définies sur]0;+[ \left]0;+\infty \right[ par f(x)=1x(ln(x))22xln(x)2xf\left(x\right)=-\frac{1}{x} \left(\ln \left(x\right)\right)^{2} -\frac{2}{x} \ln \left(x\right)-\frac{2}{x} et p(x)=(ln(x))2x2p\left(x\right)=\frac{\left(\ln \left(x\right)\right)^{2} }{x^{2} } .
Proposition 1 : \blue{\text{Proposition 1 : }} « La fonction ff est une primitive de pp ».

Correction
2

Soit ff une fonction définie et continue sur [5;6]\left[5;6\right] par f(x)=x+2x24xf\left(x\right)=\frac{-x+2}{x^{2} -4x} .
Proposition 2 : \blue{\text{Proposition 2 : }} « I=56x+2x24xdx=12ln(125)I=\int _{5}^{6}\frac{-x+2}{x^{2} -4x} dx=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{12}{5} \right) ».

Correction
3

Soit ff une fonction définie sur ]1;1[\left]-1;1\right[ par f(x)=11x2f\left(x\right)=\frac{1}{1-x^{2} } .
Proposition 3 : \blue{\text{Proposition 3 : }} « la fonction FF définie sur ]1;1[\left]-1;1\right[ par F(x)=12ln(1+x1x)F\left(x\right)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x} \right) est une primitive de ff ».

Correction
4

Soit nn un entier naturel.
On considère les fonctions fnf_{n} définies sur [1;2]\left[1;2\right] par : fn(x)=23+5nln(1+x)f_{n} \left(x\right)=\frac{2}{3+5n\ln \left(1+x\right)} .
On considère la suite de terme général : un=12fn(x)dxu_{n} =\int _{1}^{2}f_{n} \left(x\right)dx
Proposition 4 : \blue{\text{Proposition 4 : }} « La suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante ».

Correction
5

Soit nn un entier naturel.
On considère la suite (An)\left(A_{n} \right) définie par : An=12e2tn+tdtA_{n} =\int _{1}^{2}\frac{e^{-2t} }{n+t} dt.
Proposition 5 : \blue{\text{Proposition 5 : }} « La suite (An)\left(A_{n} \right) admet une limite finie ».

Correction
6

Proposition 6 : \blue{\text{Proposition 6 : }} 121+xx2dx=12+ln(2)\int _{1}^{2}\frac{1+x}{x^{2} } dx=\frac{1}{2} +\ln \left(2\right)

Correction
7

On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie pour tout entier naturel nn par : un=01enx1+exdxu_{n} =\int _{0}^{1}\frac{e^{-nx} }{1+e^{-x} } dx .
Proposition 7 : \blue{\text{Proposition 7 : }} un+1+un=en1nu_{n+1} +u_{n} =\frac{e^{-n}-1 }{n}

Correction
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