QCM Bilan Numéro 1

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{b}$
$D=\int _{-1}^{0}\left(3t^{4} -5t^{3} +2t^{2} -6t+2\right) dt$
$D=\left[\frac{3}{5} t^{5} -\frac{5}{4} t^{4} +\frac{2}{3} t^{3} -3t^{2} +2t\right]_{-1}^{0}$
$D=\left(\frac{3}{5} \times 0^{5} -\frac{5}{4} \times 0^{4} +\frac{2}{3} \times 0^{3} -3\times 0^{2} +2\times 0\right)-\left(\frac{3}{5} \times \left(-1\right)^{5} -\frac{5}{4} \times \left(-1\right)^{4} +\frac{2}{3} \times \left(-1\right)^{3} -3\times \left(-1\right)^{2} +2\times \left(-1\right)\right)$
$D=-\left(\frac{3}{5} \times \left(-1\right)-\frac{5}{4} \times 1+\frac{2}{3} \times \left(-1\right)-3\times 1+2\times \left(-1\right)\right)$
$D=-\left(-\frac{3}{5} -\frac{5}{4} -\frac{2}{3} -3-2\right)$
$D=-\left(-\frac{451}{60} \right)$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
Soit $x\in \mathbb{R}$
On pose $f\left(x\right)=3xe^{3x^{2} }$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}}$ .
$f\left(x\right)=8xe^{2x^{2} }$ s'écrit alors
$f\left(x\right)={\color{purple}{\frac{1}{2}}}\times{\color{blue}{6x}}e^{{\color{red}{3x^{2}}}}$
$f\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ . La valeur de ${\color{purple}{k}}$ ici est ${\color{purple}{\frac{1}{2}}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}} \times{\color{blue}{u'}}e^{{\color{red}{u}}}$ est de la forme ${\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)={\color{purple}{k}} \times e^{{\color{red}{u}}}$
Ainsi :
Il vient alors que :
$A=\int _{0}^{1}3xe^{3x^{2} } dx$
$A=\left[\frac{1}{2} e^{3x^{2} } \right]_{0}^{1}$
$A=\frac{1}{2} e^{3\times 1^{2} } -\left(\frac{1}{2} e^{3\times 0^{2} } \right)$
$A=\frac{1}{2} e^{3} -\frac{1}{2} e^{0}$
$A=\frac{1}{2} e^{3} -\frac{1}{2}$
Finalement :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Soit $x$ un réel strictement positif.
$C=\int _{1}^{2}\frac{3x^{2} -5x+9}{4x} dx$ . On introduit la fonction continue sur $\left[1;2\right]$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{3x^{2} -5x+9}{4x}$ .
On va décomposer $f$, ce qui nous donne :
$f\left(x\right)=\frac{3x^{2} }{4x} -\frac{5x}{4x} +\frac{9}{4x}$
$f\left(x\right)=\frac{3x}{4} -\frac{5}{4} +\frac{9}{4x}$
$f\left(x\right)=\frac{3}{4}x -\frac{5}{4} +\frac{9}{4}\times\frac{1}{x}$
Or, une primitive sur $\left]0;+\infty\right[$ de $x\mapsto \frac{3}{4}x -\frac{5}{4} +\frac{9}{4}\times\frac{1}{x}$ est $x\mapsto \frac{3x^{2} }{8} -\frac{5}{4} x+\frac{9}{4} \ln \left(x\right)$
Ainsi :
$C=\left[\frac{3x^{2} }{8} -\frac{5}{4} x+\frac{9}{4} \ln \left(x\right)\right]_{1}^{2}$
$C=\frac{3\times 2^{2} }{8} -\frac{5}{4} \times 2+\frac{9}{4} \ln \left(2\right)-\left(\frac{3\times 1^{2} }{8} -\frac{5}{4} \times 1+\frac{9}{4} \ln \left(1\right)\right)$
$C=-1+\frac{9}{4} \ln \left(2\right)-\left(-\frac{7}{8} \right)$
$C=-1+\frac{9}{4} \ln \left(2\right)+\frac{7}{8}$
Finalement :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Soit $f\left(x\right)=\frac{5}{x^{{\color{red}{4}}} } -\frac{7}{x^{{\color{blue}{5}}} }$ , on cherche alors une primitive de $f$. On a :
$F\left(x\right)=\frac{-5}{\left({\color{red}{4}}-1\right)x^{{\color{red}{4}}-1} }-\left( \frac{-7}{\left({\color{blue}{5}}-1\right)x^{{\color{blue}{5}}-1} }\right)$
$F\left(x\right)=\frac{-5}{3x^{3} } +\frac{7}{4x^{4} }$

Il vient alors que :
$B=\int _{1}^{2}\left(\frac{5}{x^{4} } -\frac{7}{x^{5} } \right) dx$
$B=\left[-\frac{5}{3x^{3} } +\frac{7}{4x^{4} } \right]_{1}^{2}$
$B=-\frac{5}{3\times 2^{3} } +\frac{7}{4\times 2^{4} } -\left(-\frac{5}{3\times 1^{3} } +\frac{7}{4\times 1^{4} } \right)$
$B=-\frac{5}{24} +\frac{7}{64} -\left(-\frac{5}{3} +\frac{7}{4} \right)$
$B=-\frac{5}{24} +\frac{7}{64} +\frac{5}{3} -\frac{7}{4}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
Ici nous rencontrons une valeur absolue.
Nous allons écrire l'expression sans la valeur absolue.
Pour cela il faut étudier le signe de la fonction $x\mapsto 4x-8$ sur l'intervalle $\left[1;7\right]$
On remarque alors que :

Si $x\in \left[1;2\right]$ alors $4x-8\le 0$ . De ce fait $\left|4x-8\right|=-\left(4x-8\right)=8-4x$

Si $x\in \left[2;7\right]$ alors $4x-8\ge 0$ . De ce fait $\left|4x-8\right|=4x-8$

On peut alors écrire en utilisant la relation de Chasles que :
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=\int _{1}^{2}\left|4x-8\right| dx+\int _{2}^{7}\left|4x-8\right| dx$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=\int _{1}^{2}\left(8-4x\right) dx+\int _{2}^{7}\left(4x-8\right) dx$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=\left[8x-2x^{2} \right]_{1}^{2} +\left[2x^{2} -8x\right]_{2}^{7}$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=8\times 2-2\times 2^{2} -\left(8\times 1-2\times 1^{2} \right)+\left(2\times 7^{2} -8\times 7-\left(2\times 2^{2} -8\times 2\right)\right)$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=16-8-\left(8-2\right)+\left(2\times 49-56-\left(2\times 4-16\right)\right)$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=8-6+\left(98-56-\left(-8\right)\right)$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=2+\left(98-56+8\right)$
$\int _{1}^{7}\left|4x-8\right| dx=2+50$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
$m=\frac{1}{5-3} \int _{3}^{5}\left(4x-1\right) dx$ équivaut successivement à
$m=\frac{1}{2} \left[2x^{2} -x\right]_{3}^{5}$
$m=\frac{1}{2} \left(2\times 5^{2} -5-\left(2\times 3^{2} -3\right)\right)$
$m=\frac{1}{2} \left(2\times 5^{2} -5-\left(2\times 3^{2} -3\right)\right)$
$m=\frac{1}{2} \left(2\times 25-5-\left(2\times 9-3\right)\right)$
$m=\frac{1}{2} \left(50-5-\left(18-3\right)\right)$
$m=\frac{1}{2} \left(45-15\right)$
$m=\frac{1}{2} \times 30$
Finalement :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$ Pour tout réel $x$ de $I=\left[1;e\right]$, on pose :
${\color{blue}{u\left(x\right)=\ln\left(x\right)}}$ $\qquad$ on détermine $u'$ $\blue{\text{la dérivée}}$ de $u$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ ${\color{red}{u'\left(x\right)=\frac{1}{x}}}$
${\color{purple}{v'\left(x\right)=-x+3}}$ $\qquad$ on détermine $v$ $\blue{\text{une primitive}}$ de $v'$ $\qquad$ $\qquad$ ${\color{green}{v\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x}}$
Les fonctions $\color{blue}{u}$ et $\color{green}{v}$ sont dérivables sur $I$ et les fonctions $\color{red}{u'}$ et $\color{purple}{v'}$ sont continues sur $I$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$G=\int _{1}^{e}{\color{purple}{\left(-x+3\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}dx$
$G=\left[{\color{green}{\left(-\frac{1}{2}x^{2}+3x\right)}}{\color{blue}{\ln \left(x\right)}}\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left({\color{green}{\left(-\frac{1}{2}x^{2}+3x\right)}}\times {\color{red}{\frac{1}{x}}} \right) dx$
$G=\left[\left(-\frac{1}{2} x^{2} +3x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\int _{1}^{e}\left(-\frac{1}{2} x+3\right) dx$
$G=\left[\left(-\frac{1}{2} x^{2} +3x\right)\ln \left(x\right)\right]_{1}^{e} -\left[-\frac{1}{4} x^{2} +3x\right]_{1}^{e}$
$G=\left[\left(-\frac{1}{2} \times e^{2} +3\times e\right)\ln \left(e\right)-\left(-\frac{1}{2} \times 1^{2} +3\times 1\right)\ln \left(1\right)\right]-\left[-\frac{1}{4} \times e^{2} +3\times e-\left(-\frac{1}{4} \times 1^{2} +3\times 1\right)\right]$
$G=\left[\left(-\frac{1}{2} e^{2} +3e\right)\times 1-\left(-\frac{1}{2} \times 1^{2} +3\times 1\right)\times 0\right]-\left[-\frac{1}{4} e^{2} +3e-\left(-\frac{1}{4} +3\right)\right]$
$G=-\frac{1}{2} e^{2} +3e-\left(-\frac{1}{4} e^{2} +3e-\frac{11}{4} \right)$
$G=-\frac{1}{2} e^{2} +3e+\frac{1}{4} e^{2} -3e+\frac{11}{4}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{d}$
Nous savons que $I_{n} =\int _{0}^{1}x^{n} e^{x} dx$ . Il vient alors que :
$I_{n+1} =\int _{0}^{1}x^{n+1} e^{x} dx$
Pour tout réel $x$ de $I=\left[0;1\right]$, on pose :
${\color{blue}{u\left(x\right)=x^{n+1}}}$ $\qquad$ on détermine $u'$ $\blue{\text{la dérivée}}$ de $u$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ ${\color{red}{u'\left(x\right)=\left(n+1\right)x^{n}}}$
${\color{purple}{v'\left(x\right)=e^{x}}}$ $\qquad$ on détermine $v$ $\blue{\text{une primitive}}$ de $v'$ $\qquad$ $\qquad$ ${\color{green}{v\left(x\right)=e^{x}}}$
Les fonctions $\color{blue}{u}$ et $\color{green}{v}$ sont dérivables sur $I$ et les fonctions $\color{red}{u'}$ et $\color{purple}{v'}$ sont continues sur $I$.
D'après la formule d'intégrations par parties :
$I_{n+1}=\int _{0}^{1}{\color{blue}{x^{n+1}}}{\color{purple}{e^{x}}}dx$
$I_{n+1}=\left[{\color{blue}{x^{n+1}}}{\color{green}{e^{x}}}\right]_{0}^{1} -\int _{0}^{1}\left({\color{green}{e^{x}}}\times {\color{red}{\left(n+1\right)x^{n}}} \right) dx$
$I_{n+1} =\left[x^{n+1} e^{x} \right]_{0}^{1} -\left(n+1\right)\int _{0}^{1}x^{n} e^{x} dx$
Or on remarque que $\int _{0}^{1}x^{n} e^{x} dx =I_n$
Ainsi :
$I_{n+1} =\left[x^{n+1} e^{x} \right]_{0}^{1} -\left(n+1\right)I_{n}$
$I_{n+1} =1^{n+1} e^{1} -\left(0^{n+1} e^{0} \right)-\left(n+1\right)I_{n}$
$I_{n+1} =e^{1} -0-\left(n+1\right)I_{n}$
Ainsi :

$\red{\text{La bonne réponse est}}$ $\red{a}$
Soit $x\in \mathbb{R}$ . On pose : $f\left(x\right)=12\cos\left(2x\right)\left(4+\sin\left(2x\right)\right)^{5}$
La fonction $f$ est de la forme ${\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{red}{u\left(x\right)=4+\sin\left(2x\right)}}$ et ${\color{brown}{n=5}}$.
De plus, ${\color{blue}{u'\left(x\right)=2\cos\left(2x\right)}}$ .
$f\left(x\right)=12\cos\left(2x\right)\left(4+\sin\left(2x\right)\right)^{5}$ s'écrit alors :
$f\left(x\right)=\color{purple}{6}\times{\color{blue}{2\cos\left(2x\right)}}\left({\color{red}{4+\sin\left(2x\right)}}\right)^{\color{brown}{5}}$ c'est à dire $f\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ avec ${\color{purple}{k=6}}$
Or une primitive de ${\color{purple}{k}}\times{\color{blue}{u'}}{\color{red}{u}}^{\color{brown}{n}}$ est de la forme $\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} {\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}+1}$
Il en résulte donc qu'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{{\color{brown}{n}}+1} \left({\color{red}{u\left(x\right)}}\right)^{{\color{brown}{n}}+1}$
D'où :
$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{6}}}{{\color{brown}{5}}+1} \left({\color{red}{4+\sin\left(2x\right)}}\right)^{{\color{brown}{5}}+1}$
$F\left(x\right)= \frac{6}{6}\left(4+\sin\left(2x\right)\right)^{6}$
Ainsi :
Il vient alors que :
$H=\int _{0}^{\pi }\left(12\cos \left(2x\right)\left(4+\sin \left(2x\right)\right)^{5} \right)dx$
$H=\left[\left(4+\sin \left(2x\right)\right)^{6} \right]_{0}^{\pi }$
$H=\left(4+\sin \left(2\times \pi \right)\right)^{6} -\left(4+\sin \left(2\times 0\right)\right)^{6}$
$H=\left(4+0\right)^{6} -\left(4+0\right)^{6}$
Ainsi :