Calcul d'intégrales

Positivité de l'intégrale et suites

Exercice 1

Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=2xn1+x2g_{n} \left(x\right)=\frac{2x^{n} }{1+x^{2} }
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
1

Montrer que vn0v_{n} \ge 0

Correction
2

Montrer que vn01(2xn)dxv_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx

Correction
3

Montrer que limn+vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

Correction

Exercice 2

Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=xne2xg_{n} \left(x\right)=x^{n} e^{-2x}
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
1

Montrer que vn0v_{n} \ge 0 .

Correction
2

Montrer que vn01(xn)dxv_{n} \le \int _{0}^{1}\left(x^{n} \right)dx

Correction
3

Montrer que limn+vn=0\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

Correction

Exercice 3

Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [1;2]\left[1;2\right] par la relation gn(x)=2xn1+x2g_{n} \left(x\right)=\frac{2x^{n} }{1+x^{2} }
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=12(gn(x))dxv_{n} =\int _{1}^{2}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
1

Montrer que (vn)\left(v_{n} \right) est croissante.

Correction

Exercice 4

Pour tout entier naturel nn, on considère la fonction gng_{n} définie sur [0;1]\left[0;1\right] par la relation gn(x)=xne2xg_{n} \left(x\right)=x^{n} e^{-2x}
On définit la suite (vn)\left(v_{n} \right) par vn=01(gn(x))dxv_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
Intégration d'une inégalité :
Si fgf\ge g sur [a;b]\left[a;b\right] alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
1

Montrer que (vn)\left(v_{n} \right) est décroissante.

Correction

Exercice 5

Pour tout entier naturel nn non nul, on pose In=nn+1(1x2)dxI_{n} =\int _{n}^{n+1}\left(\frac{1}{x^{2} } \right)dx
1

Démontrer que 1(n+1)2In1n2\frac{1}{\left(n+1\right)^{2} } \le I_{n} \le \frac{1}{n^{2} }

Correction
2

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (In)\left(I_{n}\right) ?

Correction

Exercice 6

Pour tout entier naturel nn non nul, on pose In=01(22t)entdtI_{n} =\int _{0}^{1}\left(2-2t\right)e^{-nt} dt
1

Montrer que In0I_{n} \ge 0

Correction
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