Calcul d'intégrales

Exercices types DS

Exercice 1

Soit nn un entier naturel. On considère l'intégrale I0=01e1xdxI_{0}=\int _{0}^{1}e^{1-x}dx et pour tout n1n\ge1, on a : In=01xne1xdxI_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}e^{1-x}dx
1

Calculer I0=01e1xdxI_{0}=\int _{0}^{1}e^{1-x}dx.

Correction
2

On admet que : In+1=(n+1)In1I_{n+1} =\left(n+1\right)I_{n} -1. Calculer alors I1I_{1} et I2I_{2}.

Correction
3

Démontrer que pour tout réel xx de [0;1]\left[0;1\right] et pour tout entier naturel nn non nul, on a : xnxne1xxnex^{n} \le x^{n} e^{1-x} \le x^{n} e.

Correction
4

En déduire un encadrement de InI_{n}, puis la limite de InI_{n}.

Correction

Exercice 2

Soit nn un entier naturel nn. on définit la suite (un)\left(u_{n}\right) par : un=01tncos(t)dtu_{n} =\int _{0}^{1}t^{n} \cos \left(t\right)dt
1

Montrer, que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n}\right) est minorée par 00.

Correction
2

Étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction
3

Que peut-on en déduire pour la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction

Exercice 3

1

Soit ff la fonction définie sur [1;e]\left[1;e\right] par f(t)=t3[3ln(t)1]f\left(t\right)=t^{3} \left[3\ln \left(t\right)-1\right] . Calculer f(t)f'\left(t\right)

Correction
2

Calculer la valeur exacte de I=1e9t2ln(t)dtI=\int _{1}^{e}9t^{2} \ln \left(t\right) dt

Correction
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