Vecteurs du plan : première Partie

Relation de Chasles - Exercice 2

15 min
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ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO.
Question 1

Montrer que OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}

Correction
Nous avons dessiné pour vous la figure de l'énoncé, ci-dessous :
D'après la figure, on vérifie facilement que : OA→=CO→\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO} et que OB→=DO→\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}.
Il en résulte donc que :
OA→+OB→+OC→+OD→=CO→+DO→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CO} +\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}
OA→+OB→+OC→+OD→=CO→+OC→+DO→+OD→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{C\red{\mathbf{O}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}C}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OD}
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
OA→+OB→+OC→+OD→=CC→+DO→+OD→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CC} +\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OD}
OA→+OB→+OC→+OD→=0→+DO→+OD→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} +\overrightarrow{D\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}D} . En effet : CC→=0→\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}
OA→+OB→+OC→+OD→=0⃗+DD→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} +\overrightarrow{DD}
OA→+OB→+OC→+OD→=0→+0→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} +\overrightarrow{0}
Ainsi :
OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}
Question 2

En déduire que pour tout point MM du plan MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}

Correction
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
Nous allons utiliser la relation de Chasles pour chaque vecteur avec le point OO. Cela nous donne :
MA→=MO→+OA→\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}A} ; MB→=MO→+OB→\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}B} ; MC→=MO→+OC→\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}C} ; MD→=MO→+OD→\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{M\red{\mathbf{O}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{O}}D}
Il vient alors que :
MA→+MB→+MC→+MD→=MO→+OA→+MO→+OB→+MO→+OC→+MO→+OD→\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}
MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→+OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}
D'après la question 11, on sait que : OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}.
Il en résulte donc que :
MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→+0→\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}
MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}