Variations et extremums des fonctions. Lecture graphique . Fonctions paires et impaires

Exercice type : BILAN - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie par f(x)=2x5x2f\left(x\right)=\frac{2x-5}{x-2}.
On note Cf\mathscr{C_f} la courbe représentative de ff .

Déterminer le domaine de définition de la fonction ff .

Correction
La fonction ff est une fonction homographique.
  • Une fonction homographique est définie pour tout réel xx tel que le dénominateur ne s'annule pas.
Le dénominateur ici est x2x-2.
ff est définie pour tout réel xx tel x20x-2\ne0 d'où :
x2x\ne2

L'ensemble de définition de la fonction ff est D=];2[]2;+[D=\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[ que l’on note aussi R{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\}.
Question 2

Calculer l'image de 33 par la fonction ff.

Correction
Il nous faut calculer f(3)f\left(3\right) . Il vient alors que :
f(3)=2×3532f\left(3\right)=\frac{2\times 3-5}{3-2}
f(3)=6532f\left(3\right)=\frac{6-5}{3-2}
f(3)=11f\left(3\right)=\frac{1}{1}
Ainsi :
f(3)=1f\left(3\right)=1

L'image de 33 par la fonction ff vaut 11 .
Question 3

Déterminer l'antécédent de 44 par ff en utilisant la méthode algébrique.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=4f\left(x\right)=4
Pour tout réel x2x\ne2, on a :
f(x)=4f\left(x\right)=4 équivaut successivement à :
2x5x2=4\frac{2x-5}{x-2} =4
2x5x2=41\frac{2x-5}{x-2} =\frac{4}{1}
  • AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D}\Leftrightarrow A\times D=B\times C
(2x5)×1=(x2)×4\left(2x-5\right)\times 1=\left(x-2\right)\times 4
2x×15×1=x×42×42x\times 1-5\times 1=x\times 4-2\times 4
2x5=4x82x-5=4x-8
2x4x=8+52x-4x=-8+5
2x=3-2x=-3
x=32x=\frac{-3}{-2}
x=32x=\frac{3}{2}
La solution de cette équation est :
S={32}S=\left\{\frac{3}{2}\right\}

Question 4

Le point A(5;53)A\left(5;\frac{5}{3}\right) appartient-il à la courbe Cf\mathscr{C_f} ?

Correction
Nous allons calculer l'image de 55 par ff et vérifier si le résultat est bien 53\frac{5}{3} .
f(5)=2×5552f\left(5\right)=\frac{2\times 5-5}{5-2}
f(5)=1053f\left(5\right)=\frac{10-5}{3}
f(5)=53f\left(5\right)=\frac{5}{3}

Le point A(5;53)A\left(5;\frac{5}{3}\right) appartient bien à la courbe Cf\mathscr{C_f} .
Question 5

Déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2-2 .

Correction
Pour déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2-2, il nous suffit de calculer l'image de 2-2 par ff .
f(2)=2×(2)522f\left(-2\right)=\frac{2\times \left(-2\right)-5}{-2-2}
f(2)=454f\left(-2\right)=\frac{-4-5}{-4}
f(2)=94f\left(-2\right)=\frac{-9}{-4}
f(2)=94f\left(-2\right)=\frac{9}{4}

L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2-2 est alors 94\frac{9}{4} .
Question 6

Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées.

Correction
Un point appartenant à l'axe des ordonnées, signifie que son abscisse est nulle.
Autrement dit, il nous faut calculer f(0)f\left(0\right).
f(0)=2×0502f\left(0\right)=\frac{2\times 0-5}{0-2}
f(0)=52f\left(0\right)=\frac{-5}{-2}
f(0)=52f\left(0\right)=\frac{5}{2}
Ainsi le point d'intersection entre Cf\mathscr{C_{f}} et l'axe des ordonnées a pour cordonnées (0;52)\left(0;\frac{5}{2}\right).