Equations et inéquations

Savoir résoudre une inéquation - Exercice 3

20 min
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Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions à l'aide d'un intervalle.

155x015-5x\ge0

Correction
5x15-5x\ge -15
x155x\red{\le }\frac{-15}{-5} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 5-5 qui est un nombre négatif.
x3x\le 3
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];3]S=\left]-\infty ;3\right]

Question 2

x5<7x+2x-5<7x+2

Correction
x5<7x+2x-5<7x+2 équivaut successivement à :
x<7x+2+5x<7x+2+5
x<7x+7x<7x+7
x7x<7x-7x<7
6x<7-6x<7
x>76x\red{>}\frac{7}{-6}       \;\;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 6-6 qui est un nombre négatif.
x>76x>-\frac{7}{6}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]76;+[S=\left] -\frac{7}{6};+\infty \right[
Question 3

4x+4<8x+204x+4<8x+20

Correction
4x+4<8x+204x+4<8x+20 équivaut successivement à :
4x<8x+2044x<8x+20-4
4x<8x+164x<8x+16
4x8x<164x-8x<16
4x<16-4x<16
x>164x\red{>}\frac{16}{-4}       \;\;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 4-4 qui est un nombre négatif.
x>4x>-4
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]4;+[S=\left]-4;+\infty \right[
Question 4

x+34(2x+5)x+3\le 4\left(2x+5\right)

Correction
x+34(2x+5)x+3\le 4\left(2x+5\right) équivaut successivement à :
x+38x+20x+3\le 8x+20
x8x203x-8x\le 20-3
7x17-7x\le 17
x177x\red{\ge} \frac{17}{-7}       \;\;\; Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 7-7 qui est un nombre négatif.
x177x\ge -\frac{17}{7}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[177;+[S=\left[-\frac{17}{7};+\infty \right[

Question 5

635x85x54+7715-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-5-4+\frac{77}{15}

Correction
635x85x54+7715-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-5-4+\frac{77}{15} équivaut successivement à :
635x85x9+7715-\frac{63}{5}x\ge \frac{8}{5}x-9+\frac{77}{15}
635x85x9+7715-\frac{63}{5}x-\frac{8}{5}x\ge -9+\frac{77}{15}
715x9+7715-\frac{71}{5}x\ge -9+\frac{77}{15}
715x13515+7715-\frac{71}{5}x\ge -\frac{135}{15}+\frac{77}{15}
715x5815-\frac{71}{5}x\ge -\frac{58}{15}
71×35×3x5815-\frac{71\times3}{5\times3}x\ge -\frac{58}{15}
21315x5815-\frac{213}{15}x\ge -\frac{58}{15}.
  • Si cc est un réel positif non nul alors ac+bcdca+bd\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d .
  • Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .
Ainsi :
213x58-213x\ge -58
x58213x\red{\le} \frac{-58}{-213} . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par 213-213 qui est un nombre négatif.
x58213x\le \frac{58}{213}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=];58213]S=\left]-\infty ;\frac{58}{213} \right]