Savoir résoudre une inéquation - Exercice 2

$$4x>-4x+5+62,2$$ équivaut successivement à :
$$4x+4x>5+62,2$$
$$8x>67,2$$
$$x>\frac{67,2}{8}$$
$$x>8,4$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$-7-6x<-39+2x$$ équivaut successivement à :
$$-7-6x-2x<-39$$
$$-7-8x<-39$$
$$-8x<-39+7$$
$$-8x<-32$$
$$x>\frac{-32}{-8}$$ . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $$-8$$ qui est un nombre négatif.
$$x>4$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$3x-1\le 2\left(5x+2\right)$$ équivaut successivement à :
$$3x-1\le 10x+4$$
$$3x-10x\le 4+1$$
$$-7x\le 5$$
$$x\ge \frac{5}{-7}$$
$$x\ge -\frac{5}{7}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$72-11x\ge -5$$ équivaut successivement à :
$$-11x\ge -5-72$$
$$-11x\ge -77$$
$$x\le \frac{-77}{-11}$$ . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $$-11$$ qui est un nombre négatif.
$$x\le 7$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-9-2+\frac{157}{3}$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{56}{9}x\ge \frac{6}{9}x-11+\frac{157}{3}$$
$$-\frac{56}{9}x-\frac{6}{9}x\ge -11+\frac{157}{3}$$
$$-\frac{62}{9}x\ge -11+\frac{157}{3}$$
Pour résoudre ce type d'équation, il faut commencer par mettre tout au même dénominateur.
$$-\frac{62}{9}x\ge -\frac{33}{3}+\frac{157}{3}$$
$$-\frac{62}{9}x\ge \frac{124}{3}$$
$$-\frac{62}{9}x\ge \frac{124\times3}{3\times3}$$
$$-\frac{62}{9}x\ge \frac{372}{9}$$.
Ainsi :
$$-62x\ge 372$$
$$x\le \frac{372}{-62}$$ . Ici nous avons changé le sens de l'inéquation car nous divisons par $$-62$$ qui est un nombre négatif.
$$x\le -6$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$x^{2}-2\le \left(x-3\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$x^{2}-2\le x^{2}-2\times x\times3+3^{2}$$
$$x^{2}-2\le x^{2}-6x+9$$
$$x^{2}\le x^{2}-6x+9+2$$
$$x^{2}\le x^{2}-6x+11$$
$$x^{2}-x^{2}+6x\le 11$$
$$6x\le 11$$
$$x\le \frac{11}{6}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)<3x\left(x-7\right)$$ équivaut successivement à :
$$3x\times x+3x\times 2+\left(-1\right)\times x+\left(-1\right)\times 2<3x\times x+3x\times \left(-7\right)$$
$$3x^{2} +6x-x-2<3x^{2} -21x$$
$$3x^{2} +6x-x-2-3x^{2} +21x<0$$
$$26x-2<0$$
$$26x<2$$
$$x<\frac{2}{26}$$
$$x<\frac{1\times \color{red}2}{13\times \color{red}2}$$
$$x<\frac{1\times \cancel{ \color{red}2}}{13\times \cancel{ \color{red}2}}$$
$$x<\frac{1}{13}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$\frac{x+3}{4} \ge \frac{2x-1}{5}$$ équivaut successivement à :
Pour résoudre ce type d'équation, il faut commencer par mettre tout au même dénominateur.
$$\frac{5\times \left(x+3\right)}{5\times 4} \ge \frac{4\times \left(2x-1\right)}{4\times 5}$$
$$\frac{5\times x+5\times 3}{20} \ge \frac{4\times 2x+4\times \left(-1\right)}{20}$$
$$\frac{5x+15}{20} \ge \frac{8x-4}{20}$$
$$5x+15\ge 8x-4$$
$$5x\ge 8x-4-15$$
$$5x\ge 8x-19$$
$$5x-8x\ge -19$$
$$-3x\ge -19$$
$$x\le \frac{-19}{-3}$$
Ainsi : $$x\le \frac{19}{3}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :