Équations cartésiennes d'une droite et les systèmes linéaires

QCM - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Il n'y a cependant qu'une seule bonne réponse. Vous devez justifier votre choix.

Le point A(1;5)A\left(1;5\right) appartient à la droite d'équation :
  • x+2y+4=0x+2y+4=0
  • 2x+3y=172x+3y=17
  • 2x133y=02x-13-3y=0
  • 14x+14y=2-\frac{1}{4}x+ \frac{1}{4}y=2

Correction
La bonne réponse est b.
Le point A(1;5)A\left(1;5\right) appartient à une équation cartésienne si les coordonnées de AA vérifient l'équation. Il faut donc remplacer les coordonnées de AA dans les équations proposées et une seule sera vérifiée.
Nous remarquons que :
2xA+3yA=2×1+3×52x_{A} +3y_{A} =2\times 1+3\times 5
2xA+3yA=172x_{A} +3y_{A} =17
Il en résulte que le point A(1;5)A\left(1;5\right) appartient à l'équation cartésienne 2x+3y=172x+3y=17 .
Question 2

Un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right) d'équation 3x2y+1=03x-2y+1=0 est :
  • u(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right)
  • u(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)
  • u(11,5)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1,5} \end{array}\right)
  • u(32)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)

Correction
La bonne réponse est c.
L'écriture cartésienne d'une droite est de la forme ax+by+c=0ax+by+c=0 où le vecteur u(ba)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-b} \\ {a} \end{array}\right) est un vecteur directeur de cette droite.
On note u\overrightarrow{u} un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right).
Ainsi : u(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right). Ce vecteur n'est pas proposé dans la liste de solution. Il nous faut donc trouver un vecteur colinéaire à u(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right).
On vérifie facilement que le vecteur u(11,5)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1,5} \end{array}\right) est colinéaire au vecteur u(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right).
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si : x×yx×y=0x\times y'-x'\times y=0 autrement dit : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et u(xy)\vec{u} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×3(1,5)×2=3+3=0-1\times 3-\left(-1,5\right)\times 2=-3+3=0
Il en résulte qu'un vecteur directeur de la droite (d)\left(d\right) d'équation 3x2y+1=03x-2y+1=0 est u(11,5)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1,5} \end{array}\right)
Question 3

On considère les points A(2;3)A\left(2;3\right) et B(5;1)B\left(5;-1\right) dans un repère du plan.
La droite (AB)\left(AB\right) est parallèle à la droite d'équation :
  • 8x6y+1=0-8x-6y+1=0
  • 4x+3y+1=0-4x+3y+1=0
  • 4x3y+1=04x-3y+1=0
  • 6x8y+1=0-6x-8y+1=0

Correction
La bonne réponse est a.
Dans un premier temps, nous allons calculer un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right) qui est tout simplement le vecteur AB\overrightarrow{AB}.
Ainsi : AB(5213)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5-2} \\ {-1-3} \end{array}\right) ainsi AB(34)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)
  • Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux.
  • Or la droite 8x6y+1=0-8x-6y+1=0 admet comme vecteur directeur u(68)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-8} \end{array}\right). Le vecteur u(68)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-8} \end{array}\right) est colinéaire au vecteur AB(34)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right). En effet : u=2AB\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}
    Question 4

    On considère les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) d'équation cartésienne respective 2x+3y8=02x+3y-8=0 et 5x7,5y+20=0-5x-7,5y+20=0. Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont :
    • sécantes
    • parallèles
    • confondues

    Correction
    La bonne réponse est c.
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires entre eux. Ainsi :
    Soit u1(xy)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2(xy)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {x' } \\ {y'} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont parallèles si et seulement si :
    xyxy=0xy'-x'y=0
    Soit u1(32)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d1)\left(d_{1} \right).
    Soit u2(7,55)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {7,5} \\ {-5} \end{array}\right) un vecteur de la droite (d2)\left(d_{2} \right).
    Les vecteurs u1\overrightarrow{u_{1} } et u2\overrightarrow{u_{2} } sont colinéaires car : (3)×(5)7,5×2=0\left(-3\right)\times \left(-5\right)-7,5\times 2=0.
    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont donc parallèles. Mais sont-elles confondues?
    Deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) d'équations respectives ax+bx+c=0ax+bx+c=0 et dx+ey+f=0dx+ey+f=0 sont confondues si et seulement si :
    ad=be=cf\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}
    On considère les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) d'équation cartésienne respective 2x+3y8=02x+3y-8=0 et 5x7,5y+20=0-5x-7,5y+20=0. Nous vérifions que :
    25=37,5=820=0,4\frac{2}{-5}=\frac{3}{-7,5}=\frac{-8}{20}=-0,4

    Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont confondues.
    Question 5

    Une droite (d)\left(d\right) passe par l'origine du repère. Une équation possible est :
    • x=1x=1
    • y1=0y-1=0
    • 2x133y=02x-13-3y=0
    • 5x+14y=05x+ \frac{1}{4}y=0

    Correction
    La bonne réponse est d.
    Les droites passant par l'origine du repère sont :
  • Les fonctions linéaires de la forme f(x)=axf\left(x\right)=ax
  • La droite d'équation x=0x=0
  • La droite d'équation y=0y=0
  • On remarque que :
    5x+14y=014y=5xy=5x×4y=20x5x+ \frac{1}{4}y=0\Leftrightarrow \frac{1}{4}y=-5x\Leftrightarrow y=-5x\times4\Leftrightarrow y=-20x
    L'équation y=20xy=-20x est bien une fonction linéaire qui passe donc bien par l'origine du repère.
    Question 6

    On considère les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) d'équation cartésienne respective 2x+3y8=02x+3y-8=0 et 5x+8y11=0-5x+8y-11=0. Le point d'intersection des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) est :
    • (2;1)\left(2;1 \right)
    • (2;1)\left(-2;-1 \right)
    • (1;2)\left(1;2 \right)
    • (1;2)\left(-1;-2 \right)

    Correction
    La bonne réponse est c.
    Nous pouvons tester chacune des solutions dans chacune des droites. On ne retiendra donc que la solution qui vérifiera l'équation cartésienne de (d1)\left(d_{1} \right) et l'équation cartésienne de (d2)\left(d_{2} \right).
    Nous allons ensemble montrer que le point (1;2)\left(1;2 \right) appartient à la fois à la droite (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
  • 2×1+3×28=02\times 1+3\times 2-8=0 donc le point (1;2)\left(1;2 \right) appartient à la droite (d1)\left(d_{1} \right) d'équation : 2x+3y8=02x+3y-8=0
  • 5×1+8×211=0-5\times 1+8\times 2-11=0 donc le point (1;2)\left(1;2 \right) appartient à la droite (d2)\left(d_{2} \right) d'équation : 5x+8y11=0-5x+8y-11=0
  • Il s'agit donc du point d'intersection entre les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).