Exercices pour assimiler le cours : Fiche n°2 - Exercice 3

On a, $$\ f_n(0)=0$$.
Pour tout $$x\in]0,2]$$, on a $$\ \lim_{n\to+\infty}\big(f_n(x)\big)=\lim_{n\to+\infty}\Biggl(x^2\Big(\frac{1}{1+x^2}\Big)^n\Biggr)=0\ ,\$$ car $$\Big(\frac{1}{1+x^2}\Big)^n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0\$$ puisque $$0<\frac{1}{1+x^2}<1$$.
D'où, la suite $$(f_n)_{n\ge 0}$$ converge simplement sur $$[0,2]$$ vers la fonction nulle.

Les fonctions $$f_n$$ sont dérivables sur $$]0,2[$$ et on a :
$$f_n'(x)=\frac{2x(1+x^2)^n-2nx^3(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}}=\frac{2x(1+x^2)^{n-1}\big[(1+x^2)-nx^2\big]}{(1+x^2)^{2n}}=\frac{2x\big(1+(1-n)x^2\big)}{(1+x^2)^{n+1}}$$.
D'autre part,
$$f_n'(x)=0\Leftrightarrow 2x\big(1+(1-n)x^2\big)=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou }1+(1-n)x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{n-1}\Leftrightarrow |x|=\sqrt{\frac{1}{n-1}}$$.
Comme $$x\ge 0$$, alors $$x=\sqrt{\frac{1}{n-1}}$$ et on a le tableau de variations suivant :

Les fonctions $$f_n$$ admettent donc un maximum égal à $$f\Big(\sqrt{\frac{1}{n-1}}\Big)=\frac{1}{n-1}\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n$$ atteint en $$\sqrt{\frac{1}{n-1}}$$.

On a démontré, dans la question 1, que $$f_n\overset{C.S.}\longrightarrow f\$$ sur $$[0,2]$$, où $$f(x)=0$$.
D'après la 2ème question, $$f_n(x)\le f_n\Big(\sqrt{\frac{1}{n-1}}\Big)$$ pour tout $$x\in[0,2]$$. C'est-à-dire, $$\ \|f_n-f\|_{\infty}\le f_n\Big(\sqrt{\frac{1}{n-1}}\Big)$$.
Comme $$f_n\Big(\sqrt{\frac{1}{n-1}}\Big)=\frac{1}{n-1}\Big(\frac{n-1}{n}\Big)^n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0\times\frac{1}{e}=0$$, alors $$\lim_{n\to+\infty}\big(\|f_n-f\|_{\infty}\big)=0$$.
D'où, la suite $$(f_n)_{n\ge 0}$$ converge uniformément sur $$[0,2]$$ vers la fonction nulle.

En résumé : $$\begin{cases}\text{les fonctions }f_n\text{ sont continues sur }[0,2]\ ,\\ \quad\\ f_n\overset{C.U.}\longrightarrow f\text{ sur }[0,2],\text{ où }f(x)=0\ ,\end{cases}$$
alors, d'après le théorème sur la "permutation limite/intégrale", on a
$$\ I=\lim_{n\to+\infty}\Biggl(\int_0^2 f_n(x)dx\Biggr)=\int_0^2\Big(\lim_{n\to+\infty}f_n(x)\Big)dx=\int_0^2 f(x) dx=0.\$$