Suites de fonctions

Exercices pour assimiler le cours : Fiche n°2 - Exercice 1

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Question 1

Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn)(f_n) définies sur [0,1][0,1] par fn(x)=xnf_n(x)=x^n.

Correction
⋆\star Première méthode : Voir exemple (2) du résumé de cours de la section "Convergence simple vs convergence uniforme".
⋆\star Deuxième méthode :
Toute limite uniforme f\text{\bf limite uniforme }f d'une suite de fonctions (fn) continues(f_n)\text{ \bf continues} sur un intervalle II est continue\text{\bf continue} sur II.

"ASTUCE" !!!{\color{magenta}\text{"ASTUCE"}\ !!! } Comme conséquence du résultat ci-dessus, si les fonctions fnf_n sont continues et fn⟶C.S.f f_n\overset{C.S.}\longrightarrow f\ mais ff n'est pas continue sur II, alors la suite (fn)(f_n) ne peut converger uniformément sur II vers ff.
Dans cet exercice, on rappelle que fn⟶C.S.f f_n\overset{C.S.}\longrightarrow f\ , où f(x)={0 si x∈[0,1[1 si x=1.f(x)=\begin{cases}0\text{ si }x\in[0,1[\\ 1 \text{ si }x=1.\end{cases}
Les fonctions fnf_n sont continues sur [0,1][0,1] alors que ff ne l'est pas. La suite (fn)n≥0(f_n)_{n\ge 0} ne peut donc converger uniformément sur [0,1][0,1] vers ff.