Exercices pour assimiler le cours : Fiche n°1 - Exercice 4

On a $$\ \lim_{n\to+\infty}\big(f_n(x)\big)=\lim_{n\to+\infty}\big(e^{x+\frac{1}{n}}\big)=e^x$$.
D'où, $$f_n\overset{C.S.}\longrightarrow f\$$, où $$f(x)=e^x$$.
A-t-on convergence uniforme de $$\big(f_n)_{n\ge 1}$$ vers $$f$$ sur $$]-\infty,0]$$ ?
$$\bigstar\$$ Première méthode :
Soit $$x\in]-\infty,0]$$. On a,
$$\big|f_n(x)-f(x)\big|=\Big|e^{x+\frac{1}{n}}-e^x\Big|=\Big|e^x\big(e^{\frac{1}{n}}-1\big)\Big|=e^x\big(e^{\frac{1}{n}}-1\big)\$$, car $$\underbrace{e^x}_{\color{blue}>0}\overbrace{\big(e^{\frac{1}{n}}-1\big)}^{\color{blue}>0}>0$$.
Pour $$n\in\mathbb N^*$$, posons $$\psi_n(x)=e^x\big(e^{\frac{1}{n}}-1\big)$$. On a, $$\psi_n(x)>0$$ sur $$\mathbb R$$.
Les fonctions $$\psi_n$$ sont dérivables sur $$\mathbb R$$ et on a : $$\psi_n'(x)=\psi_n(x)>0$$ pour tout $$x\in\mathbb R$$.
D'où, $$\ \psi_n:x\longmapsto \psi_n(x)$$ est strictement croissante sur $$\mathbb R$$ et, en particulier, sur $$]-\infty,0]$$. Par conséquent, $$\ \psi_n(x)\le\psi_n(0)$$ $$\text{\bf pour tout}$$ $$x\in]-\infty,0]$$.
D'où, $$\ \sup_{x\in]-\infty,0]}\big(|\psi_n(x)|\big)\le\psi_n(0)$$, c'est-à-dire, $$\|\psi_n\|_{\infty}\le\psi_n(0)$$ ou encore $$\|f_n-f\|_{\infty}\le\psi_n(0)$$.
Comme $$\psi_n(0)=e^{\frac{1}{n}}-1\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0$$, alors $$\lim_{n\to+\infty}\big(\|f_n-f\|_{\infty}\big)=0$$. D'où, $$f_n\overset{\ C.U.\ }\longrightarrow f\$$ sur $$]-\infty,0]$$.
$$\bigstar\$$ Deuxième méthode :
D'après le calcul fait dans la première méthode, $$\ \big|f_n(x)-f(x)\big|=e^x\big(e^{\frac{1}{n}}-1\big).$$
Comme $$x\in]-\infty,0]$$, alors $$e^x<1$$ et par la suite, $$\ \big|f_n(x)-f(x)\big|<e^{\frac{1}{n}}-1\$$ $$\text{\bf pour tout}$$ $$x\in]-\infty,0]$$. D'où, $$\|f_n-f\|_{\infty}<e^{\frac{1}{n}}-1$$.
Comme $$\ \big(e^{\frac{1}{n}}-1\big)\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0$$, alors $$\lim_{n\to+\infty}\big(\|f_n-f\|_{\infty}\big)=0$$.
Conclusion : La suite de fonctions $$\big(f_n\big)_{n\ge 1}\text{ \bf converge uniformément}$$, sur $$]-\infty,0]$$, vers la fonction $$f:x\longmapsto e^x$$.