Exercices pour assimiler le cours : Fiche n°1 - Exercice 2

Soit $$x\in I$$. On a : $$\ 0\le\big|f_n(x)-f(x)\big|\le\big\|f_n-f\big\|_{\infty}$$.
Comme $$(f_n)_n$$ converge uniformément vers $$f$$ sur $$I$$, alors $$\big\|f_n-f\big\|_{\infty}\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0$$.
D'où, $$\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0$$ et donc $$\ \big(f_n(x)-f(x)\big)\underset{n\to+\infty}\longrightarrow 0$$, ou encore $$\lim_{n\to+\infty}\big(f_n(x)\big)=f(x)$$ pour tout $$x\in I$$.
C'est-à-dire, $$(f_n)_n$$ converge simplement vers $$f$$ sur $$I$$.