Arithmétique

Exercices types : 11 ère partie - Exercice 1

12 min
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Question 1
Le nombre 588588 peut se décomposer sous la forme 588=22×3×72588=2^2\times{3}\times{7^2}

Quels sont ses diviseurs premiers, c’est-à-dire les nombres qui sont à la fois des nombres premiers et des diviseurs de 588  ?588\;?

Correction
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    Or 588=22×3×72588=2^2\times{3}\times{7^2} donc les diviseurs premiers de 588588 sont 22, 33 et 7.7.
    Question 2

    Déterminer la décomposition en facteurs premiers de 27  000  000.27\;000\;000.

    Correction
    Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    27  000  000=27×1  000  00027\;000\;000={\color{blue}27}\times{\color{brown}1\;000\;000}
    27  000  000=3×3×3×10627\;000\;000={\color{blue}3\times3\times3}{\color{brown}\times{10^6}}
    27  000  000=33×(5×2)627\;000\;000={\color{blue}3^3}{\color{brown}\times{(5\times2})^6}
  • (a×b)n=an×bn(a\times{b})^n=a^n\times{b}^n
    • 27  000  000=33×56×2627\;000\;000={\color{blue}3^3}{\color{brown}\times{5^6\times{2^6}}}
    27  000  000=33×56×26\boxed{27\;000\;000={\color{blue}3^3}{\color{brown}\times{5^6\times{2^6}}}}
    Question 3

    Quels sont ses diviseurs premiers ?

    Correction
    Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    De la question précédente on sait que : 27  000  000=26×33×5627\;000\;000=2^6\times{3^3}\times{5^6}.
    Donc les diviseurs premiers de 27  000  00027\;000\;000 sont 22, 33 et 5.5.
    Question 4

    Déterminer le plus petit nombre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement.

    Correction
    Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts entiers et positifs.
  • Ces deux diviseurs sont 1 \color{red}1 et le nombre lui-même.
    • Il est important de connaître les premiers nombres premiers : (2  ;  3  ;  5  ;  7  ;11  ;13  ;17  ;  19  ;  23).\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).
    Les trois premiers nombres impairs sont : 3  ;  5    ;  7.\color{blue}3\;;\;5\;\;;\;7.
    Donc le plus petit entier impair admettant trois diviseurs premiers différents est 3×5×7=105.3\times5\times7=105.