Primitives et calculs d'intégrales

Primitives de la forme u′unu'u^{n} - Exercice 1

25 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
Question 1
 Si vous rencontrez des difficulteˊs, n’heˊsitez pas aˋ reprendre la videˊo sur cette notion . \red{\text{ Si vous rencontrez des difficultés, n'hésitez pas à reprendre la vidéo sur cette notion . }}

f(x)=3(4x−1)2f\left(x\right)=3\left(4x-1\right)^{2}

Correction
Question 2

f(x)=7(2x+3)4f\left(x\right)=7\left(2x+3\right)^{4}

Correction
Question 3

f(x)=(−x+1)36f\left(x\right)=\frac{\left(-x+1\right)^{3} }{6} . On peut écrire plus simplement : f(x)=16(−x+1)3f\left(x\right)=\frac{1}{6} \left(-x+1\right)^{3}

Correction
Question 4

f(x)=2x(5x2+2)3f\left(x\right)=2x\left(5x^{2} +2\right)^{3}

Correction
Question 5

f(x)=x(−x2−4)8f\left(x\right)=x\left(-x^{2} -4\right)^{8}

Correction
Question 6

f(x)=6(3x+2)4f\left(x\right)=\frac{6}{\left(3x+2\right)^{4} }

Correction
Pour calculer cette primitive on va écrire ff sous la forme f(x)=6(3x+2)−4f\left(x\right)=6\left(3x+2\right)^{-4} car 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n} .
On retombe ainsi sur une forme u′unu'u^{n}
Question 7

f(x)=3x(2x2+1)3f\left(x\right)=\frac{3x}{\left(2x^{2} +1\right)^{3} }

Correction
Pour calculer cette primitive on va écrire ff sous la forme f(x)=3x(2x2+1)−3f\left(x\right)=3x\left(2x^{2} +1\right)^{-3} car 1an=a−n\frac{1}{a^{n} } =a^{-n} .
On retombe ainsi sur une forme u′unu'u^{n}
Question 8

f(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)

Correction
On peut également écrire f(x)=2sin⁡(x)[cos⁡(x)]1f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)\left[\cos \left(x\right)\right]^{1} pour faire apparaitre u′u1u'u^{1}
Question 9

f(x)=ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} . Un classique au BAC\red{\text{Un classique au BAC}}

Correction
On peut également écrire f(x)=1xln⁡(x)⇔f(x)=1x(ln⁡(x))1f\left(x\right)=\frac{1}{x} \ln \left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{x} \left(\ln \left(x\right)\right)^{1} pour faire apparaitre u′u1u'u^{1}