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Primitives et calculs d'intégrales
Positivité de l'intégrale et suites : Types DS également - Exercice 1
15 min
30
Pour tout entier naturel
n
n
n
, on considère la fonction
g
n
g_{n}
g
n
définie sur
[
0
;
1
]
\left[0;1\right]
[
0
;
1
]
par la relation
g
n
(
x
)
=
2
x
n
1
+
x
2
g_{n} \left(x\right)=\frac{2x^{n} }{1+x^{2} }
g
n
(
x
)
=
1
+
x
2
2
x
n
On définit la suite
(
v
n
)
\left(v_{n} \right)
(
v
n
)
par
v
n
=
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
v_{n} =\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx
v
n
=
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
Question 1
Montrer que
v
n
≥
0
v_{n} \ge 0
v
n
≥
0
Correction
Positivité de l'intégrale.
Soit
f
f
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
Si
f
(
x
)
≥
0
f\left(x\right)\ge 0
f
(
x
)
≥
0
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
0
\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge 0
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
0
Soit :
x
∈
[
0
;
1
]
x\in \left[0;1\right]
x
∈
[
0
;
1
]
, il en résulte que
2
x
n
≥
0
2x^{n} \ge 0
2
x
n
≥
0
et que
1
+
x
2
≥
0
1+x^{2} \ge 0
1
+
x
2
≥
0
.
Donc :
2
x
n
1
+
x
2
≥
0
\frac{2x^{n} }{1+x^{2} } \ge 0
1
+
x
2
2
x
n
≥
0
Autrement dit :
g
n
(
x
)
≥
0
g_{n} \left(x\right)\ge 0
g
n
(
x
)
≥
0
On peut conclure que :
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
≥
0
\int _{0}^{1}\left(g_{n} \left(x\right)\right)dx \ge 0
∫
0
1
(
g
n
(
x
)
)
d
x
≥
0
.
Finalement :
v
n
≥
0
v_{n} \ge 0
v
n
≥
0
Question 2
Montrer que
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
Correction
Soit :
x
∈
[
0
;
1
]
x\in \left[0;1\right]
x
∈
[
0
;
1
]
On a alors :
0
≤
x
2
≤
1
⇔
1
≤
x
2
+
1
≤
2
0\le x^{2} \le 1\Leftrightarrow 1\le x^{2} +1\le 2
0
≤
x
2
≤
1
⇔
1
≤
x
2
+
1
≤
2
On compose par la fonction inverse, d'où :
1
2
≤
1
x
2
+
1
≤
1
\frac{1}{2} \le \frac{1}{x^{2} +1} \le 1
2
1
≤
x
2
+
1
1
≤
1
équivaut à
2
x
n
2
≤
2
x
n
x
2
+
1
≤
2
x
n
\frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
2
2
x
n
≤
x
2
+
1
2
x
n
≤
2
x
n
On sait que :
2
x
n
2
≥
0
\frac{2x^{n} }{2} \ge 0
2
2
x
n
≥
0
On en déduit alors que :
0
≤
2
x
n
2
≤
2
x
n
x
2
+
1
≤
2
x
n
0\le \frac{2x^{n} }{2} \le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
0
≤
2
2
x
n
≤
x
2
+
1
2
x
n
≤
2
x
n
D'où :
0
≤
2
x
n
x
2
+
1
≤
2
x
n
0\le \frac{2x^{n} }{x^{2} +1} \le 2x^{n}
0
≤
x
2
+
1
2
x
n
≤
2
x
n
Il en résulte que :
∫
0
1
0
d
x
≤
∫
0
1
2
x
n
x
2
+
1
d
x
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\frac{2x^{n} }{x^{2} +1} dx\le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
∫
0
1
0
d
x
≤
∫
0
1
x
2
+
1
2
x
n
d
x
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
Finalement :
0
≤
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
0
≤
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
Question 3
Montrer que
lim
n
→
+
∞
v
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0
n
→
+
∞
lim
v
n
=
0
Correction
Calculons
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
=
[
2
n
+
1
x
n
+
1
]
0
1
\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\left[\frac{2}{n+1} x^{n+1} \right]_{0}^{1}
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
=
[
n
+
1
2
x
n
+
1
]
0
1
D'où :
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
=
2
n
+
1
\int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx =\frac{2}{n+1}
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
=
n
+
1
2
D'après la question précédente, nous savons que :
0
≤
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
0\le v_{n} \le \int _{0}^{1}\left(2x^{n} \right)dx
0
≤
v
n
≤
∫
0
1
(
2
x
n
)
d
x
Ainsi :
0
≤
v
n
≤
2
n
+
1
0\le v_{n} \le \frac{2}{n+1}
0
≤
v
n
≤
n
+
1
2
Or
lim
n
→
+
∞
2
n
+
1
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n+1} =0
n
→
+
∞
lim
n
+
1
2
=
0
et
0
≤
v
n
≤
2
n
+
1
0\le v_{n} \le \frac{2}{n+1}
0
≤
v
n
≤
n
+
1
2
Donc d'après le théorème des gendarmes :
lim
n
→
+
∞
v
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0
n
→
+
∞
lim
v
n
=
0