Primitives et calculs d'intégrales

Encadrement - Exercice 1

15 min
25
Démontrer les encadrements suivants
Question 1

1013(3t+2)dt2210\le \int _{1}^{3}\left(3t+2\right) dt\le 22

Correction
Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Soit t[1;3]t\in \left[1;3\right], il vient alors que :
    1t31\le t\le 3 équivaut successivement à
    33t93\le 3t\le 9
    3+23t+29+23+2\le 3t+2\le 9+2
    53t+2115\le 3t+2\le 11
    On peut alors écrire que :
    135dt133t+2dt1311dt\int _{1}^{3}5dt \le \int _{1}^{3}3t+2dt \le \int _{1}^{3}11dt

    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} 135dt=[5t]13=5×35×1=10\int _{1}^{3}5 dt=\left[5t\right]_{1}^{3} =5\times3-5\times1=10
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} 1311dt=[11t]13=11×311×1=22\int _{1}^{3}11 dt=\left[11t\right]_{1}^{3} =11\times3-11\times1=22
    Finalement :
    1013(3t+2)dt2210\le \int _{1}^{3}\left(3t+2\right) dt\le 22
    Question 2

    1301(12t+1)dt1\frac{1}{3} \le \int _{0}^{1}\left(\frac{1}{2t+1} \right) dt\le 1

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Soit t[0;1]t\in \left[0;1\right], il vient alors que :
    0t10\le t\le 1 équivaut successivement à
    02t20\le 2t\le 2
    12t+131\le 2t+1\le 3
    On compose maintenant par la fonction inverse. Or x1xx\mapsto \frac{1}{x} est une fonction décroissante sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[, l'ordre n'est pas conservé. Il vient alors que :
    1312t+11\frac{1}{3} \le \frac{1}{2t+1} \le 1
    Il en résulte que :
    0113dt0112t+1dt011dt\int _{0}^{1}\frac{1}{3} dt\le \int _{0}^{1}\frac{1}{2t+1} dt\le \int _{0}^{1}1 dt

    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} 0113dt=[13t]01=13×113×0=13\int _{0}^{1}\frac{1}{3} dt=\left[\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\times 1-\frac{1}{3}\times 0=\frac{1}{3}
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} 011dt=[t]01=10=1\int _{0}^{1}1 dt=\left[t\right]_{0}^{1} =1-0=1
    Finalement :
    1301(12t+1)dt1\frac{1}{3} \le \int _{0}^{1}\left(\frac{1}{2t+1} \right) dt\le 1
    Question 3

    27122x2+3dx12\frac{2}{7} \le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \frac{1}{2}

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Soit x[1;2]x\in \left[1;2\right], il vient alors que :
    1x21\le x\le 2
    1x241\le x^{2} \le 4
    4x2+374\le x^{2} +3\le 7
    141x2+317\frac{1}{4} \ge \frac{1}{x^{2} +3} \ge \frac{1}{7}
    171x2+314\frac{1}{7} \le \frac{1}{x^{2} +3} \le \frac{1}{4}
    272x2+324\frac{2}{7} \le \frac{2}{x^{2} +3} \le \frac{2}{4}
    272x2+312\frac{2}{7} \le \frac{2}{x^{2} +3} \le \frac{1}{2}
    1227dx122x2+3dx1212dx\int _{1}^{2}\frac{2}{7} dx\le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \int _{1}^{2}\frac{1}{2} dx
    Calculons d’une part :\red{\text{Calculons d'une part :}} 1227dx=[27x]12=27×227×1=27\int _{1}^{2}\frac{2}{7} dx=\left[\frac{2}{7} x\right]_{1}^{2} =\frac{2}{7} \times 2-\frac{2}{7} \times 1= \frac{2}{7}
    Calculons d’autre part :\red{\text{Calculons d'autre part :}} 1212dx=[12x]12=12×212=12\int _{1}^{2}\frac{1}{2} dx=\left[\frac{1}{2} x\right]_{1}^{2} =\frac{1}{2} \times 2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
    Finalement :
    27122x2+3dx12\frac{2}{7} \le \int _{1}^{2}\frac{2}{x^{2} +3} dx \le \frac{1}{2}

    Question 4

    001ln(1+xn)dxln(2)0\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \ln \left(2\right)

    Correction
    Soient ff, gg et hh trois fonctions continues sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si f(x)g(x)f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\le f\left(x\right)\le g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \le\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\le \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Si h(x)f(x)g(x)h\left(x\right)\ge f\left(x\right)\ge g\left(x\right) alors abh(x)dxabf(x)dxabg(x)dx\int _{a}^{b}h\left(x\right) dx \ge\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
  • Soit x[0;1]x\in \left[0;1\right], il vient alors que :
    0x10\le x\le 1
    0xn10\le x^{n} \le 1
    11+xn21\le 1+x^{n} \le 2 . Or xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) est une fonction croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty\right[, l'ordre est conservé. Il vient alors que :
    ln(1)ln(1+xn)ln(2)\ln \left(1\right)\le \ln \left(1+x^{n} \right)\le \ln \left(2\right)
    0ln(1+xn)ln(2)0\le \ln \left(1+x^{n} \right)\le \ln \left(2\right)
    010dx01ln(1+xn)dx01ln(2)dx\int _{0}^{1}0dx \le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \int _{0}^{1}\ln \left(2\right)dx
    001ln(1+xn)dx[xln(2)]010\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \left[x\ln \left(2\right)\right]_{0}^{1}
    Finalement :
    001ln(1+xn)dxln(2)0\le \int _{0}^{1}\ln \left(1+x^{n} \right)dx \le \ln \left(2\right)