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Primitives et calculs d'intégrales
Comparer deux intégrales sans les calculer - Exercice 1
5 min
10
Sans faire de calculs, comparer les deux intégrales
I
I
I
et
J
J
J
suivantes
Question 1
I
=
∫
0
1
(
x
+
1
)
d
x
I=\int _{0}^{1}\left(x+1\right) dx
I
=
∫
0
1
(
x
+
1
)
d
x
et
J
=
∫
0
1
(
x
+
2
)
d
x
J=\int _{0}^{1}\left(x+2\right) dx
J
=
∫
0
1
(
x
+
2
)
d
x
Correction
Intégration d'une inégalité.
Si
f
≥
g
f\ge g
f
≥
g
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
alors
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
Soit :
x
∈
[
0
;
1
]
x\in \left[0;1\right]
x
∈
[
0
;
1
]
, on a :
2
≥
1
2\ge 1
2
≥
1
x
+
2
≥
x
+
1
x+2\ge x+1
x
+
2
≥
x
+
1
Donc :
∫
0
1
(
x
+
2
)
d
x
≥
∫
0
1
(
x
+
1
)
d
x
\int _{0}^{1}\left(x+2\right) dx\ge \int _{0}^{1}\left(x+1\right) dx
∫
0
1
(
x
+
2
)
d
x
≥
∫
0
1
(
x
+
1
)
d
x
Finalement :
J
≥
I
J\ge I
J
≥
I