On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle I (que l'on ne cherchera pas à déterminer). Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1
a(x)=4x+1
Correction
Soit a une constante ou encore un nombre. Une primitive de a est ax
Une primitive de x est 21x2
Une primitive de xn est n+11xn+1
Nous pouvons écrire : a(x)=4x1+1 A(x)=4×1+11x1+1+x+k A(x)=4×21x2+x+k
A(x)=2x2+x+k
où k est une constante réelle.
Question 2
n(x)=−7x+9
Correction
Soit a une constante ou encore un nombre. Une primitive de a est ax
Une primitive de x est 21x2
Une primitive de xn est n+11xn+1
Nous pouvons écrire : n(x)=−7x+9 N(x)=−7×1+11x1+1+9x+k N(x)=−7×21x2+9x+k
N(x)=−27x2+9x+k
où k est une constante réelle.
Question 3
b(x)=−x2+3x+6
Correction
Soit a une constante ou encore un nombre. Une primitive de a est ax
Soit a une constante ou encore un nombre. Une primitive de a est ax
Une primitive de x est 21x2
Une primitive de xn est n+11xn+1
On va commencer par écrire la fonction plus simplement : d(x)=54x4−x3+2⇔d(x)=54x4−51x3+52 Maintenant on va calculer les primitives de d. D(x)=54×51x5−51×41x4+52x+k
D(x)=254x5−201x4+52x+k
où k est une constante réelle.
Question 7
e(x)=(x−1)(3x+4)
Correction
Soit a une constante ou encore un nombre. Une primitive de a est ax
Une primitive de x est 21x2
Une primitive de xn est n+11xn+1
Commençons par développer l'expression, puis ensuite nous calculerons les primitives. e(x)=(x−1)(3x+4) équivaut à : e(x)=3x2+4x−3x−4 e(x)=3x2+x−4 E(x)=3×31x3+21x2−4x+k Ainsi :
E(x)=x3+21x2−4x+k
où k est une constante réelle.
Question 8
f(x)=3x+x22−1
Correction
Une primitive de x21 est −x1
Une primitive de x est 21x2
F(x)=3×21x2+2×(−x1)−x+k
F(x)=23x2−x2−x+k
où k est une constante réelle.
Question 9
g(x)=x33−x24
Correction
Une primitive de xn1 est (n−1)xn−1−1
G(x)=2x2−3+x4+k
où k est une constante réelle.
Question 10
p(x)=x22x3−3x2+2
Correction
Une primitive de x21 est −x1
Une primitive de x est 21x2
Pour tout réel x différent de zéro. On va commencer par écrire la fonction plus simplement : p(x)=x22x3−3x2+2⇔p(x)=x22x3−x23x2+x22 Ainsi : p(x)=2x−3+x22 Maintenant on va calculer les primitives de p. P(x)=2×21x2−3x+2×(−x1)+k