Pour tout entier naturel
n, on sait que :
−1≤sin(n)≤1 équivaut successivement à :
−1+n≤sin(n)+n≤1+n, on va ensuite diviser par
2n+1 qui est strictement positif
2n+1−1+n≤2n+1sin(n)+n≤2n+11+n2n+1−1+n≤un≤2n+11+nD'une part :
n→+∞lim2n+1−1+n.
Pour calculer cette limite, nous factoriserons par
n au numérateur et par
n au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici
n et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici
n.
n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(n2n+1)n(n−1+n)n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(n2n+n1)n(−n1+nn)n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞limn(2+n1)n(−n1+1) . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par
n .
n→+∞lim2n+1−1+n=n→+∞lim2+n1n−1+1n→+∞limn−1+1n→+∞lim2+n1==12} par quotient,
n→+∞lim2+n1n−1+1=21Finalement :
n→+∞lim2n+1−1+n=21On effectue la même démarche pour calculer
n→+∞lim2n+11+n et on obtiendra
n→+∞lim2n+11+n=21D'après le théorème des gendarmes
n→+∞limun=21