Les suites

Pour bien démarrer les révisions aux DS

Exercice 1

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=3000u_{0} =3000 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,95un+76u_{n+1} =0,95u_{n} +76
1

Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a : un1520u_{n}\ge1520.

Correction
2

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.

Correction
3

Justifier que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demandera pas ici de déterminer la valeur de la limite.

Correction
On désigne par (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie par, pour tout entier naturel nn, on a : vn=un1520v_{n}=u_{n}-1520.
4

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction
5

En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a : un=1480×0,95n+1520u_{n} =1480\times 0,95^{n} +1520

Correction
6

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction

Exercice 2

Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u1=1u_{1} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,5un+0,4u_{n+1} =0,5u_{n} +0,4
1

Démontrer que, pour tout entier naturel n1n\ge1, on a : un0,8u_{n}\ge0,8.

Correction
2

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.

Correction
3

Justifier que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demandera pas ici de déterminer la valeur de la limite.

Correction
On désigne par (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie par, pour tout entier naturel nn, on a : vn=un0,8v_{n}=u_{n}-0,8.
4

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction
5

En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a : un=0,2×0,5n1+0,8u_{n} =0,2\times 0,5^{n-1} +0,8

Correction
6

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction

Exercice 3

La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=1un+1=2un+4\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {2u_{n} +4} \end{array}\right.
1

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn , on a : un=5×2n4u_{n} =5\times 2^{n}-4

Correction
La suite (un)\left(u_{n} \right) est définie par : {u0=14un+1=23un+6\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {14} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{2}{3}u_{n} +6} \end{array}\right.
2

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn , on a : un18u_{n} \le18

Correction
Identifie‑toi pour accéder à plus de contenu !

Pour voir l'ensemble du contenu gratuit, connecte‑toi à ton compte.
Si tu n'en possèdes pas encore, crée‑le gratuitement en quelques secondes.